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1、《高等数学一》试卷一.填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.2.xtO%vx2+xlim—^°°x-x3.lim(l-—)'XT®X5.d(2*+")=6.己知广（兀）=1，则lim心。+心）一/此一心）一AxtOAx7.dr的单调增区间为8.dx9.——xd(3-51nx);10.微分方程）/-y=0的通解是二.单项选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1.函数/（x）=ln（x+1）+a/2-x+arcsinx的定义域是（）。A.（-1,1]B.[-1,1]C.（-1,2]D.[-2.当兀TO时，
2、/（兀）=tan兀一sin尢是兀的（）。A.低阶无穷小B.等阶无穷小C.同阶但不等阶无穷小+ClX>03.设f（x）='“一在x=Q上连续，则d的值为（）。sinx,x<0A.・1B・0C.1D・24.函数/（x）=Inx在兀=0点（）。A.连续且可导B.连续但不可导C.不连续但可导D.,2]D.高阶无穷小不连续且不可导5.下列论述正确的是（）。A.驻点必是极值点C.可导的极值点必是驻点6.下列凑微分正确的是（）0A.xex2dx=d（ex2B.极值点必是最值点D.极值点必是拐点B.1x+1dx=d(lnx+l)C•a
3、rctanxdx=dl+x2>D.cos2xdx=^d(sin2x)7.设F（jc）是/（兀）的一个原函数,则有下面成立的是（）oA.dbjf(x)dx=f{x)dxB.X,f{x）dx=f（x）dxa.8.下列那一项不是常微分方程（C.dA.3y2-2x+y=0C-y+3y=0三.计算题（本大题共5小题,1.limcotxxtOVsinxx))oD.B.D.iiMdx“)+a(x2+y2)ck+(x2-y2)dy=0y"=3x+siny每小题6分，共30分）2'设）Tn鵲，求寻4.J（）3.l+x+arctanx.—v
4、axl+A25.求微分方程^=e-yU+x3）的通解。dx四.应用题（本大题共3小题，每小题7分，共21分）1.已知曲线y=y（x）满足方程siny+兀・R=（h试求曲线在点（0,0）处的切线方程。2.计算抛物线y=x2与），=兀所圉成的图形的面积。3.要制作一个容积为V的圆柱形带盖铁罐，问圆柱的高h和底半径I•各为多少时，可使所用材料最少？五.证明题（本大题共5分）高等数学（一）答案一、填空题1、2345678910二、选择题1-8AD_DC_CA三、计算题1、limcotxxtO(sinxxJ解：limcotxxt()
5、——一丄卜lim(sin兀x)cosxx-sinx“x-sinx=limcosxlim；——=T()sinxxsinxA^°牙-()x“1-cosxsinx1=lim=lim=—z3%-xt()6兀62、解：^=(ln(l+x3)-ln(l+x2)］，=(ln(l+x3))，-(ln(H-x2))Zd-xdln(l+F)d(l+F)_dln(l+F)d(l+x2)d(l+x3)dxd(l+x2)dr_3x22x1+x31+兀"1+x+arctanxtax1+%2解:1+x+arctanxtax=1+x2—dx--1+x2
6、xl+x2dx+arctanxt^-dxl+x2=a「c®+打芈学+“心anxd(a「ctanx)=arctanx4-—ln(l+x2)+—(arctanx)2+C224、£e^x(x解：令二/,那么x=t21dr=2tdt,且x=0时f=0,x二咐f=l,故2=2(e-el*)=2£"'dr二£R•2f•dt=2(ter[一£Rdf)5、求微分方程^=e-v(x+x3)的通解。ck解：这是变量分离方程，变量分离eydy=(x^x3)dx,两边积分，有Jeydy=j(x+x3)dx+c即八新+存+C为原方程的通解。四、应
7、用题1、己知曲线y=y(x)满足方程siny+x-ev=O,试求曲线在点(0,())处的切线方程。解：在方程两边关于兀求导，有cosy-y-^ey+x-ey•y,=0所以y=,曲线在(o,0)处的切线的斜率=y(00)=-i,故cosy+xe'切线方程为y=—兀。2.计算抛物线y=x2与尸=兀所围成的图形的面积。解：两抛物线与直线相交于点(0,0,),(1,1)。选取兀为积分变量，那么S=^(4x-x2)dx=彳兀2；_*兀3o3、解：V因为S(R)=2/rRh+(0
8、所以S(R)二"R4+,(0<7?<+00),求导得S'(R)--—-,令R5r(7?)=O,得唯一驻点人=V，代入人=7F，可得“・因此,当时，茶缸的表面积最小.五、证明题注意：同学们在抄时选择一种就可以了解：解法一：利用中值定理。考虑函数/(u)=eH，显然函数在［0,刘上满足拉格朗日屮值定理，所以
