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1、专题七：数学数列求和的基本方法和技巧数列是髙屮代数的重要内容，乂是学习高等数学的基础.在高考和各种数学竞赛小都占有重要的地位.数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，人部分数列的求和都需要一定的技巧.下面，谈谈数列求和的基本方法和技巧.一、利用常用求和公式法求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.d；1、等差数列求和公式：S”="⑷严)=呦+如卩2.等比数列求和公式：Sn=aA山(1-/‘)二5一吋1-q1-q(D(Xl)“1”3、Sfl=^k=-n(n+)；4、Sn=^k2=k=2R=1+1)(2/?+1)；5.=[切(斤+1
2、)]2【例1】设S“=l+2+3/?,求f(n)=-r—一的最人值.("+32)片+1『解」由等差数列求和公式得=1/2(/7+1),5n+1=
3、(/7+1)(/7+2)s…=(/7+32)Srt+1=7+34/2+6411/?+344-—(Vh-n150当五=~^='即兀=8时,/(^)max二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的询n项和公式吋所用的方法，这种方法主要用于求数列｛an如的前〃项和，其中｛如、｛加分别是等差数列和等比数列.【例2】求数列专，斗,%…，空，…前〃项的和.2222"『解」rti题可知，｛甲｝的通项是等差数列｛2於的通项与等比数列｛厶｝的通项之积22
4、屮c2462n设S=—+—r+^-+1222232"1€—2丄4丄6丄2/12“2223242讪①一②得今+右+*+#+•••+22”2n2n=2——-2〃+i2”t2"科・•・S”=4-峠n2"一三、反序相加法求和这是推导等差数列的前X项和公式吋所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序)，再把它与原数列相加，就可以得到n个(e+an).【例3】求sin21°+sin22°+sin23°+•••+sin288°+sin289°的值『解」S=sin21°+sin22°+sin23°+•••+sin288°+sin289°①将①式右边反序得乂因为sinx=cos(90°-x),sin
5、2x+cos2x=1①+②得2S=(sin21°+cos21°)+(sin22°+cos22。)+…+(sin289°+cos289°)=89・•・5=44.5四、分组转化求和法有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和，再将其合并即可.【例4】求数列的前/?项和：1+1,丄+4,丄+7,…，丄+3“—2,…acT严『解」设=（1+1）+（丄+4）++7）f（f+3/?—2）,将其每一项拆开再重新组合得a/7厶S”=(1++-卜丄+・•・+-^-r)+(1+4+7+・•・+3〃一2)a?an~l当a=时，c(3
6、n-l)n(3n+l)ns〃》+2-2一-尸,(3/7-1).五、裂项相消法求和这是分解与组合思想在数列求和屮的具体应用.裂项法的实质是将数列屮的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：⑴an=f(n+1)-f(n)；(2)pn=tan(/i+1)°-tann°COS/2°COS(A?+1)(3)二1二1__1_"n(n+1)nn+1(4)an=(2〃V+l)i+£(缶-缶(5)a-:=—:!1“n(n-1)(7?+2)2/10?+1)(n+l)(n+2)J兀+2”=n(n+1)1_2(n+l)-n2nn(n+1)【例5】求数列亠
7、=,厂丨厂，…,厂I_，…的前”项和.1+Q25/2+J3Jn+Jn+1『解］设an=—j=~—=厶+1-4nV«+V/?+1贝ijs=—5—+—?—+・••+!”1+血V24-V3徧+后I=(V2-Vl)+(a/3-y/2)+…+(厶+1-石)=厶+1-1【例10】在数列｛外｝中,又爪民’求数列何的前〃项的机『解』二丄+丄+…+亠Jn+In+1n+12bn==8()nzz+1nn+1・・・数列｛仇｝的前八项和S”=&（1—；）+（；_[）+（〔_》+・・・+（1-*31=8（1）=卑12334nn+in+1n4-1六、合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊
8、的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.【例6]数列｛a“｝：ax=l,a2=3,如=2,an+2=an+｝-an,求S2oo2-『解」设5*2002=Q
9、+。2+°3+…+。2002由Q]=1,勺=3。3=2,%+2=。刃+1—%可得為=—1，l6k+=1，。6%2=$心人+3=2，。6人+4=一h。6対5=一$。6&+6=一2•°6*+1+a（、k+2+°6R+3+a6k+4+°62+5+°6«+6=°•:S20（）2=（Q]+勺+
