2006年北京市中考数学真题及答案

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北京市2006年高级中等学校招生统一考试（课标B卷）数学试卷考生须知1．本试卷分为第Ⅰ卷、第Ⅱ卷，共10页，共九道大题，25个小题，满分120分．考试时间120分钟．2．在试卷密封线内认真填写区（县）名称、毕业学校、姓名、报名号、准考证号．3．考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（机读卷　　共32分）考生须知1．第Ⅰ卷共2页，共一道大题，8个小题．2．试题答案一律填涂在机读答题卡上，在试卷上作答无效．一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分．）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．用铅笔把“机读答题卡”上对应题目答案的相应字母处涂黑．1．的相反数是（　　）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．2．青藏高原是世界上海拔最高的高原，它的面积约为平方千米．将用科学记数法表示应为（　　）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．3．在函数中，自变量的取值范围是（　　）ＡＤＥＣＢＡ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．4．如图，，点在的延长线上，若，则的度数为（　　）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．5．小芸所在学习小组的同学们，响应“为祖国争光，为奥运添彩”的号召，主动到附近的7个社区帮助爷爷，奶奶们学习英语日常用语．他们记录的各社区参加其中一次活动的人数如下：33，32，32，31，28，26，32，那么这组数据的众数和中位数分别是（　　）Ａ．32，31Ｂ．32，32Ｃ．3，31Ｄ．3，326．把代数式分解因式，结果正确的是（　　）Ａ．Ｂ．13 Ｃ．Ｄ．7．掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得面朝上的点数为奇数的概率为（　　）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．8．将如右图所示的圆心角为的扇形纸片围成圆锥形纸帽，使扇形的两条半径与重合（接缝粘贴部分忽略不计），则围成的圆锥形纸帽是（　　）二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分．）9．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是．10．若，则的值为．11．用“”定义新运算：对于任意实数，，都有．例如，，那么；当为实数时，．12．如图，在中，，，分别是，的中点，，为上的点，连结，．若，，，则图中阴影部分的面积为．三、解答题（共5个小题，共25分）13．（本小题满分5分）计算：．解：13 14．（本小题满分5分）解不等式组解：15．（本小题满分5分）解分式方程．解：16．（本小题满分5分）ＡＢＣＦＥＤ已知：如图，，点，点在上，，．求证：．证明：17．（本小题满分5分）已知，求代数式的值．解：四、解答题（共2个小题，共11分．）18．（本小题满分5分）ＡＤＥＣＢ已知：如图，在梯形中，，，，于点，，．求：的长．解：13 19．（本小题满分6分）ＢＣＤＡＯ已知：如图，内接于，点在的延长线上，，．（1）求证：是的切线；（2）若，，求的长．（1）证明：（2）解：五、解答题（本题满分5分）2000年，2005年北京市常住人口中教育情况统计表（人数单位：万人）20．根据北京市统计局公布的2000年，2005年北京市常住人口相关数据，绘制统计图表如下：年份大学程度人数（指大专及以上）高中程度人数（含中专）初中程度人数小学程度人数其他人数2000年2333204752341202005年362372476212114请利用上述统计图表提供的信息回答下列问题：（1）从2000年到2005年北京市常住人口增加了多少万人？（2）2005年北京市常住人口中，少儿（岁）人口约为多少万人？（3）请结合2000年和2005年北京市常住人口受教育程度的状况，谈谈你的看法．解：（1）（2）（3）13 六、解答题（共2个小题，共9分．）21．（本小题满分5分）在平面直角坐标系中，直线绕点顺时针旋转得到直线．直线与反比例函数的图象的一个交点为，试确定反比例函数的解析式．解：22．（本小题满分4分）请阅读下列材料：　　问题：现有5个边长为1的正方形，排列形式如图1，请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．　　小东同学的做法是：设新正方形的边长为．依题意，割补前后图形的面积相等，有，解得．由此可知新正方形的边长等于两个正方形组成的矩形对角线的长．于是，画出如图2所示的分割线，拼出如图3所示的新正方形．图1图2图3　　请你参考小东同学的做法，解决如下问题：　　现有10个边长为1的正方形，排列形式如图4，请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：在图4中画出分割线，并在图5的正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．图4图5说明：直接画出图形，不要求写分析过程．解：13 七、解答题（本题满分6分）23．如图1，是的平分线，请你利用该图形画一对以所在直线为对称轴的全等三角形．　　请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图2，在中，是直角，，，分别是，的平分线，，相交于点．请你判断并写出与之间的数量关系；（2）如图3，在中，如果不是直角，而（1）中的其他条件不变，请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．NPMO图1图2ACDBEF解：画图：FBEACD图3（1）与之间的数量关系为　　　　　　　　　．（2）八、解答题（本题满分8分）24．已知抛物线与轴交于点，与轴分别交于，两点．（1）求此抛物线的解析式；123456754321O（2）若点为线段的一个三等分点，求直线的解析式；（3）若一个动点自的中点出发，先到达轴上的某点（设为点），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点），最后运动到点．求使点运动的总路径最短的点，点的坐标，并求出这个最短总路径的长．解：（1）13 （2）（3）九、解答题（本题满分8分）25．我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形．请解答下列问题：（1）写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称；（2）探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为时，这对角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系，并证明你的结论．解：（1）（2）13 北京市2006年高级中等学校招生统一考试（课标Ｂ卷）一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分．）题号12345678答案ＡＣＡＤＢＣＤＢ二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分．）题号9101112答案2102630三、解答题（本题共30分，每小题5分．）13．解：　　4分　　．5分14．解：由不等式解得　　．2分　　　　由不等式解得　　．4分　　　　则不等式组的解集为　　．5分15．解：．2分　　　　．3分　　　　　　　　　　　．4分　　　　　经检验是原方程的解．　　　　所以原方程的解是．5分16．证明：因为，则．1分又，则．2分在与中，3分所以．4分所以．5分17．解：　　　　2分13 　　　　．3分　　　　当时，原式．5分四、解答题（共2个小题，共11分）18．解：如图，过点作交于点．1分　　因为，　　所以四边形是平行四边形．2分ＡＤＥＣＢＦ　　所以．　　由，　　得．　　在中，，，　　由，　　求得．3分　　所以．4分　　在中，，　　　　．　　求得．5分19．解：（1）证明：如图，连结．ＢＣＤＡＯ　　因为，　　所以．　　故．1分　　又，　　所以是等边三角形．　　故．2分　　因为，　　所以．　　所以是的切线．3分（2）解：因为，　　所以垂直平分．　　则．4分　　所以．5分13 　　在中，，　　由正切定义，有．　　所以．6分五、解答题（本题满分5分）20．解：（1）（万人）．1分　　故从2000年到2005年北京市常住人口增加了154万人．　　（2）（万人）．　　故2005年北京市常住人口中，少儿（岁）人口约为157万人．3分　　（3）例如：依数据可得，2000年受大学教育的人口比例为，2005年受大学教育的人口比例为．可知，受大学教育的人口比例明显增加，教育水平有所提高．5分六、解答题（共2个小题，共9分）21．解：依题意得，直线的解析式为．2分　　　　因为在直线上，　　　　则．3分　　　　即．　　　　又因为在的图象上，　　　　可求得．4分　　　　所以反比例函数的解析式为．5分图4图522．解：所画图形如图所示．说明：图4与图5中所画图形正确各得2分．分割方法不唯一，正确者相应给分．七、解答题（本题满分6分．）23．解：图略．画图正确得1分．　　（1）与之间的数量关系为．2分　　（2）答：（1）中的结论仍然成立．FBEACD图42１43G　　证法一：如图4，在上截取，连结．3分　　因为，为公共边，　　可证．13 　　所以，．4分　　由，分别是的平分线，　　可得．　　所以．所以．5分由及为公共边，可得．所以．所以．6分证法二：如图5，过点分别作于点，于点．3分FBEACD图52１43HＧ因为，且，分别是，的平分线，所以可得，是的内心．4分所以，．又因为，所以．5分因此可证．所以．6分八、解答题（本题满分8分）24．解：（1）根据题意，，所以解得所以抛物线解析式为．2分（2）依题意可得的三等分点分别为，．设直线的解析式为．当点的坐标为时，直线的解析式为；3分当点的坐标为时，直线的解析式为．4分13 xyA3M3（3）如图，由题意，可得．点关于轴的对称点为，点关于抛物线对称轴的对称点为．连结．根据轴对称性及两点间线段最短可知，的长就是所求点运动的最短总路径的长．5分所以与轴的交点为所求点，与直线的交点为所求点．可求得直线的解析式为．可得点坐标为，点坐标为．7分由勾股定理可求出．所以点运动的最短总路径的长为．8分九、解答题（本题满分8分）25．解：（1）略．写对一种图形的名称给1分，最多给2分．（2）结论：等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为时，这对角所对的两边之和大于或等于一条对角线的长．3分已知：四边形中，对角线，交于点，，且．求证：．证明：过点作，在上截取，使．连结，．4分故，四边形是平行四边形．所以是等边三角形，．6分ADEFCBO图1所以．①当与不在同一条直线上时（如图1），在中，有．所以．7分②当与在同一条直线上时（如图2），ADEFCBO图2则．因此．8分综合①、②，得．13 即等对角线四边形中两条对角线所夹角为时，这对角所对的两边之和大于或等于其中一条对角线的长．13