2012年北京昌平高三数学一模答案

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1、2012年北京市昌平区高考模拟训练试题：数学（理）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间为120分钟．第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分；在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的）1．（题1）【解析】D；，，故，因此2．（题2）【解析】A；，则，从而3．（题3）【解析】B；．4．（题4）【解析】B；在上单调增，，，故零点所在区间．5．（题5）【解析】B；由，可得，∴．6．（题6）【解析】C；由题设可知，再由椭圆和双曲线的定义有及，两个式子

2、分别平方再相减即可得．7．（题7）【解析】B；设员工总数为，则组人数为，由分层抽样知组中抽取的人数为，于是甲乙二人均被抽到的概率为，解得．8．（题8）【解析】D；由题设，于是定积分．第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）9．【解析】；．10．【解析】6；几何体如图所示，正面为的正方形，侧面为直角梯形，两个底边长分别为和，因此不难算出体积为．11．解析：如图，弦切角，于是，从而．12．（题12）【解析】；曲线：，点到的距离为，因此；，即．13．（题13）【解析】；，且，因此，当且仅当，即时等号成

3、立．14．（题14）有下列命题：①若存在导函数，则；②若函数，则；③若函数，则；④若三次函数，则“”是“有极值点”的充要条件．其中真命题的序号是．【解析】③；，①错误；，则，②错；，③正确；，，只需即可，是的充分不必要条件．3三、解答题（本大题共6个小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（题15）已知函数⑴求函数的最小正周期及图象的对称轴方程；⑵设函数，求的值域．【解析】⑴，∴最小正周期．由，得函数图象的对称轴方程为⑵当时，取得最小值；当时，取得最大值2，所以的值域为．16．（题16）如图，在四棱锥中，平面，底

4、面为直角梯形，，．为中点，为中点．⑴求证：；⑵求二面角的余弦值；⑶若四棱锥的体积为，求的长．【解析】⑴∵平面，平面∴∵∴∴平面又是中点，∴平面∴．⑵建立直角坐标系，设则∴由⑴知，平面，∴是平面的法向量．设平面的法向量为，则且，∴．∴，二面角的余弦值为．⑶连结，设，，∴．∵是直角三角形，∴．17．（题17）某公司要将一批海鲜用汽车运往城，如果能按约定日期送到，则公司可获得销售收入万元，每提前一天送到，或多获得万元，每迟到一天送到，将少获得万元，为保证海鲜新鲜，汽车只能在约定日期的前两天出发，且行驶路线只能选择公路或公路中的一条，运费由公

5、司承担，其他信息如表所示．统计信息汽车行驶路线不堵车的情况下到达所需时间（天）堵车的情况下到达所需时间（天）堵车的概率运费（万元）公路123公路21[4⑴记汽车走公路1时公司获得的毛利润为（万元），求的分布列和数学期望；⑵假设你是公司的决策者，你选择哪条公路运送海鲜有可能获得的毛利润更多？（注：毛利润销售收入运费）【解析】⑴汽车走公路1时不堵车时获得的毛利润万元堵车时公司获得的毛利润万元∴汽车走公路1时获得的毛利润的分布列为∴万元⑵设汽车走公路2时获得的毛利润为万元不堵车时获得的毛利润万元堵车时的毛利润万元∴汽车走公路2时获得的毛利润

6、的分布列为[∴万元∴∴选择公路2可能获利更多．18．（题18）已知函数⑴若为的极值点，求的值；⑵若的图象在点处的切线方程为，①求在区间上的最大值；②求函数的单调区间．【解析】⑴．∵是极值点，∴，即．∴或2．⑵∵在上．∴∵在上，∴又，∴∴，解得∴①由可知和是的极值点．∵∴在区间上的最大值为8．②令，得当时，，此时在单调递减当时：0+0极小值极大值此时在上单调递减，在上单调递增．当时：00+0极小值极大值此时在上单调递减，在上单调递增，综上所述：当时，在单调递减；时，在单调递减，在单调递增；时，在单调递减，在单调递增．19．（题19）已知

7、椭圆的离心率为．⑴若原点到直线的距离为，求椭圆的方程；⑵设过椭圆的右焦点且倾斜角为的直线和椭圆交于两点．i)当，求的值；ii)对于椭圆上任一点，若，求实数满足的关系式．【解析】⑴∵，∴．∵，∴．∵，∴，解得．椭圆的方程为．⑵i)∵，∴，椭圆的方程可化为…………①易知右焦点，据题意有：………②由①，②有：…………③设，∴ii)显然与可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量，有且只有一对实数，使得等式成立．设，∵，∴又点在椭圆上，∴……………④由③有：则……………⑤又在椭圆上，故有…………⑥将⑥，⑤代入④可得：．

8、20．（题20）已知数列满足，点在直线上．⑴求数列的通项公式；⑵若数列满足，求的值；⑶对于⑵中的数列，求证：．【解析】⑴∵点在直线上，∴∴，是以为首项，为公比的等比数列，∴⑵∵且，∴，∴且；当时，．⑶由⑵知∴∵时，∴，∴