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1、5.2微分方程的定性分析随着科学技术的发展，常微分方程定性分析在各个学科领域已成为必不可少的数学工具，也是数学建模的必备基础理论.一.微分方程定性理论的基本任务和 主要研究方法极少情况下，能够用初等函数或初等函数的积分表示微分方程的解.求微分方程的数值解解决方法对微分方程进行定性分析一般提法：不去积分给定的微分方程,而根据方程右端的函数的性质确定方程的积分曲线在整个区域内的分布状态.微分方程定性分析基本任务：考虑在有限区域内积分曲线的形状,或研究当时间无限增大时,积分曲线的性态.研究对象：驻定系统其右端的函数不显含自变量t，称为一阶n维驻定系
2、统(自治系统、动力系统).若微分方程组例5.2.1单一质点非受迫直线运动满足方程得一个二维驻定系统一般二维驻定系统形式为存在且唯一，则在三维空间(x,y,t)中有且仅有一条解曲线通过点(x0,y0,t0).基本思想将空间曲线投影到平面上进行分析.定义：称平面(x,y)为相平面，称解曲线在相平面上的投影为相轨线，相轨线族称为相位图.xytot0(x,y,t)解曲线投影曲线相轨线轨线方程由原方程（2）消去t而得到,相点的运动方向由原方程确定.对系统运动的研究归结为对轨线性质的研究.使P(x0,y0)=Q(x0,y0)=0的(x0,y0)称为方程(
3、2)的平衡点.二.战斗模型分析续例5.1.2两方军队交战,希望为这场战斗建立一个数学模型,应用这个模型达到如下目的：1.预测哪一方将获胜？2.估计获胜的一方最后剩下多少士兵？3.计算失败的一方开始时必须投入多少士兵才能赢得这场战斗？记x(t)—t时刻X方存活的士兵数；y(t)—t时刻Y方存活的士兵数；有微分方程组：4.战斗持续时间？（4）初始条件为x(0)=x0,y(0)=y0模型分析:1.分析方程组1）变量x≥0，y≥0，有唯一平衡点(0,0);2）x(t)，y(t)都是单降函数,且随着x,y的减小，衰减速度也在降低.2.分析相位图1）求相
4、轨线方程，将两个方程相除，得代入初始条件，有双曲线族2）预测何方军队获胜,将剩下多少士兵.(1)若,解曲线方程化为一场势均力敌的,导致相互毁灭的战斗（2）若,从相位图观察出Y方将获胜.0xy(x0,y0)Y方胜X方胜证明令y=0,由轨线方程得不可能出现x>0同时y=0的情形,即X方获胜的情形.即Y方获胜时的幸存士兵数.3）测算失败一方开始应投入兵力.矛盾将战斗力参数值a=0.15,b=0.1代入方程(4)因有预测X方军队将获胜.Y方军队要获胜开始投入兵力y0应满足：解得y0>8165,至少派出8165名士兵才能转败为胜.4）战斗持续时间讨论最
5、快歼灭速度意味着战斗开始时Y方军队的士兵以每小时1000人的速度被歼灭，故战斗至少持续5000/1000=5（小时）.战斗结束时X军队余下士兵（名）此时,Y军队士兵被歼灭的速度为最慢歼灭速度设Y军队士兵保持此速度被歼灭，有y=－790.1t+5000,令y=0,解得t=5000/790.1≈6.32(小时).分析结果表明，战斗会持续5～6.32(小时),取中间值约为5.7(小时).注直接求解微分方程组,可以得到几乎一致的结论.试一试！三.捕食系统的Volterra方程（狐狸与野兔问题）上世纪初,意大利生物学家U.D′Ancona在研究中，发觉
6、第一次世界大战期间从地中海捕获的鱼中，鲨鱼等食肉鱼的比例十分明显地上升了。他认为这一现象决非偶然，应是由战争期间捕鱼量减少所致.食用鱼人类捕捞食肉鱼捕鱼量减少，食用鱼的比例反而降低？数学家V.Volterra建立了一个数学模型给予解释.模型建立：x(t)—t时刻食用鱼（prey）的数量.y(t)—t时刻食肉鱼(predator)的数量.假设如下：*1没有食肉鱼,食用鱼的净相对增长率为正常数(k1>0);*2没有食用鱼，食肉鱼的净相对增长率为负常数(－k2,k2＞0)；*3两类鱼相遇的机会正比于x和y的乘积；建立微分方程如下：其中参数b＞0，c
7、＞0.模型分析：关心相互制约的两类鱼种的总变化趋势.针对建模目的,对微分方程进行以下分析工作：1.讨论方程的平衡点；2.分析验证方程组是否有周期解；3.对方程组周期解进行分析；4.D′Ancona现象的解释.1.求平衡点在平衡点处，两类鱼将能够“平衡”地生存,它们的数量将一直保持这个水平.平衡点：(0,0)与（x,y）=()平凡的2.分析验证方程组有周期解；(1)求相轨线方程将方程组（1）的两个方程相除：两边积分其中S为任意常数.(2)验证方程有周期解分析：方程组(1)有周期解相轨线(2)是一族封闭曲线?xy0x0x1x需证明：对每一条轨线，
8、存在x0＜x1，使：1）x0＜x＜x1时,方程(2)有两个相异根；2）x=x0或x=x1时,方程仅有一个单根；3）时,方程(2)无根.证明见5.2.13.对方程周期
