线性代数公式必记与各章考点分析

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1、1、行列式1.川行列式共冇，个元索，展开后冇加项，可分解为2”行列式；2.代数余子式的性质：①、A{j和a；j的大小无关；②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余了式为0；③、某行（列）的元索乘以该行（列）元素的代数余子式为

2、A

3、;3.代数余子式和余子式的关系：M..=（-l）i+J'A..A..=（-1）,+yA/..4.设〃行列式D：将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为则Q=（-l）h»；/1（〃一1）将》顺时针或逆时针旋转9（r,所得行列式为d,则zx=（-i）hD；J将D主对角线翻转后（转置），所得行

4、列式为则D.=D；将D主副角线翻转后，所得行列式为则D4=D；5.行列式的重要公式：①、主对角行列式：主对角元素的乘积；”（"一1）②、副对角行列式：副对角元素的乘积x（-l）h；③、上、下三角行列式:主对角元素的乘积；/1（川_］）④、

5、了

6、和

7、纠：副对角元素的乘积X（-1）F:AnACCAOA⑤、拉普拉斯展开式:;a;A丽、:y严I测⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；⑦、特征值；6.对于刃阶行列式

8、A

9、,恒有：

10、旋-內=/+立-1）5/11,其中SQ齐阶主子式;*=17.证明

11、舛=0的方法：

12、a

13、=-

14、a

15、

16、；②、反证法；③、构造齐次方程组Ax=0,证明其有非零解；④、利用秩，证明r（A）＜W；⑤、证明（）是其特征值；2、矩阵1.A是川阶可逆矩阵：o”卜（）（是非奇异矩阵）；or（A）=n（是满秩矩阵）oA的行（列）向量组线性无关；o齐次方程组Ax=0有非零解：o论肥，心=方总冇唯一解；oA与E等价；oA可表示成若干个初等矩阵的乘积；oA的特征值全不为0；o"A是正定矩阵；oA的行(列)向量组是R"的一组基；oA是/T中某两组基的过渡矩阵；1.对于〃阶矩阵A：AA^=AfA=AE无条件恒成立；2.("了=(农尸(A'*

17、)r=(Ar)~1(A^)r=(Ar)*(AB)t=BtAt(AB)*=BAy(AB)_,*A3.矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和;4.关于分块短阵的重姿结论，其中均A、B可逆：I4丿"

18、=

19、£

20、

21、每卜仏

22、；-1II、A-1町丿②、(A<0④、⑤、、C0、眄AV*o,CY*A'1〔0A-[「A4^B'CA;(主对角分块);(副対角分块):(拉普拉斯)爲；(拉普拉斯)3、矩阵的初等变换与线性方程组1.一个mxn矩阵A,总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：F二；;20丿,”“等价类

23、：所有少4等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵A、B,若r(A)=r(B)<=>A□B；2.行最简形短阵：①、只能通过初等行变换获得；②、每行首个非0元素必须为1;③、每行首个非0元索所在列的其他元索必须为0；3.初等行变换的应用：(初等列变换类似，或转置后采用初等行变换)①、若(A,E)f](E,X),则A可逆，且X=A'；②、对矩阵(4〃)做初等行变化，当A变为E时，B就变成A'B,B

24、J：③、求解线形方程组：对于〃个未知数〃个方程Ax=hf如果(A,用

25、(E,x)，则

26、A可逆，且x=Alh；4.初等矩阵和对角矩阵的概念：①、初等矩阵是行变换还是列变换，山其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；②、A=,左乘矩阵A,&乘A的各行元素；右乘,入乘A的各列元素;("0)；③、对调两行或两列,符号E(iJ),RE(iJY[=E(iJ)9例如:①、倍乘某行或某列，符号EWk)),且E(i(k)Yl=E(i(-)),例如:k②、倍加某行或某列，符号,1.E(ij(k)y}=E(ij(-k)),如:5.矩阵秩的基本性质：①、0

27、、若AEJB,则r(A)=r(B)；④、若P、0可逆，则r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)；(可逆矩阵不影响矩阵的秩)⑤、max(r(AXr(B))r(A)+r(B)-n；1.三种特殊矩

28、阵的方幕：①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵(向量)x行矩阵(向量)的形式，再采用结合律;‘1ac、②、型如01b的矩阵：利用二项展开式；、001丿二项展开式：(a+b)"=C%”+CA”W+•••+(：冲W+...+C"b“T十C：b”=；m-0n注：I、(a+b)“展开后有〃+1项；III>组合的性质：C；；1=c;「③