《直线的倾斜角与斜率》文字素材1（简析直线斜率的解题功效）（新人教A版必修2）

《《直线的倾斜角与斜率》文字素材1（简析直线斜率的解题功效）（新人教A版必修2）》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、简析直线斜率的解题功效直线的斜率是用来衡量直线的倾斜程度的一个值，只要深入研究就会发现：直线斜率数值意义的解题功效是多方面的，如果熟练掌握了用直线斜率来处理这些问题，可以大大简化解题速度.1借助直线的斜率巧解应用题例1某校一年级为配合素质教育，利用一间教室作为学生绘画成杲展览室，为节约经费，他们利用课桌作为展台，将装画的镜框放置桌上，斜靠展出，已知镜框对桌面的倾斜角为g(90°Wa<180°)镜框中，画的上、下边缘与镜框下边缘分别相距6/m,bm(a>b).问学主距离镜框下缘多远看画的效果最佳？解建立如图所示的直角坐标

2、系，AO为镜框边，AB为画的宽度，O为下边缘A上的一点，在X轴的正半轴上找一点C(x,0)(x>0),欲使看画的效果最佳，应使ZACB取得最大值._由三角函数的定义知：A^B两点坐标分别为(QCOSG,asin。)、(bcosa,Z?sina),于是直线AC、BC的斜率分别为:kAc=^nxCA=asinaacosa-xtanxCB=bsinabcosa-x于是tanACB=kf}c—Ye1+kfjc・*ac(a-b)-xsina_{a-bysina+处cosq+F一砂+—(Q+b).cosa由于ZACB为锐角，且x

3、>0,则tanACB^(a-b)・sin”2^[ab一(a+b)cosa,当且仅当®TV,尸临时，等号成立，此时ZACB取最大值，对应的点为C(陌,0),因此，学生距离镜框下缘陌cm处时，视角最大，即看画效果最佳.点评本题是一个非常实际的数学问题，它不仅考查了两点连线的斜率公式、用不等式法求最值以及对三角知识的综合运用，而且更重要的是考查了把实际问题转化为数学问题的能力.解决本题有几处至关重要，一是建立恰当的坐标系，使问题转化成解析几何问题求解;二是把问题进一步转化成求tanACB的最大值，从而转化为有关斜率的问题.2

4、借助直线的斜率比较大小例2设,则M与N的大小关系为()102()()

5、+1102002+1A.M>NB.M=NC.MkAC,即M>N.答案：A.点评如果此题按常规方法处理直接作差将会比较难处理,而采用直线斜率的几何意义就直接明了，易处理.3借助直线的斜率求直线的方程例3.过点P(2,l)作直线1分别交阳的正半轴于A,B

6、两点，求(1)/ABO面积的最小值，及相应的直线方程；(2)若丨朋丨・丨PB

7、取最小值时，求直线的方程.解析显然直线效率存在，设直线方程为y-=k(x-2)(k<0),得点4(2-丄,0),kB(0,1-2£),(1)S△佔。二丄IOA

8、・

9、OB

10、二丄(2—丄)(1一2◎二2+(-2$丄)，22k2kVk<0・・・Saab()M4,此时k=即直线为x+2y—4二0.(2)

11、PAI•IPB

12、=^8+4k2+p->4,此时k=-即直线为x+y—3=0.4构造直线斜率证明不等式问题II+7/7h例4.己知a、b.m都是

13、正实数，并且avb,求证：-~>-.b+ma证明如图，在平面直角坐标系内，设点A(-m-m),点B(b,a)・由m>0和0k0B,即吐冬>纟，原不等式得证.b+mb点评这是新教材高二数学上册上的一道例题.教材上是用比较法去进行证明的，但细细研究会发现还可通过构造直线斜率來证明该不等式，因为所证式子酷似直线的斜率表达式，故可借助题设条件构造直线，然后运用倾斜角的大小与斜率的关系来证明不等式.5构造直线斜率解决变量或参

14、数范围问题例5若y)在圆(x-3)2+(y-V3=6±运动，求丄的取值范围.X解因为2是直线OP(的斜率，在圆(x-3)2+(y-V3)2=6±,X当P点是由原点O向圆作切线的切点时，2収到最大值与最小值.设直线OP的斜率为匕直线OP的方程为y=kx,圆心C的坐标为(3,舲)，半径为后.由于圆心C到切线的距离等于半径拆，于k2=V3-2.所4-3k厂r-是可得方程:,=V6,解得=2+V3a/I+F以丄的取值范围为[o,2+V3lu[V3-2,0).点评2可以看成是点p与原点连线所在直线的斜率，则可以构造如下一个函数：

15、设X2,得函数尸总.于是所求丄的取值范围问题就可以转换为求函数)=也所对应直线的斜XX率的取值范围问题.链接练习1.在等差数列｛勺｝中,a3=6,a8=21,求®及d.2.已知等腰直角三角形屮，r=90°,直角边％在直线2兀+3厂6二0上，顶点？!的坐标是(5,4),求边昇〃和/C所在的直线方程3.已知三角形三顶点坐标分别为A(2