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《第五章微分中值定理及其应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第五章微分中值定理及其应用§1微分中值定理导数的引进使切线问题已获完美解决。但如果想用导数这一工具去分析、解决复杂一些的问题，那么,只知道怎样计算导数是远远不够的，而要以此为基础，发展更多的工具。我们注意到：（1）函数与其导数是两个不同的的函数；（2）导数只是反映函数在一点的局部特征；（3）我们往往要了解函数在其定义域上的整体性态，因此如何解决这个矛盾？需要在导数及函数间建立起一一联系一一搭起一廉桥，这个“桥”就是微分屮值定理。木章以屮值定理为屮心，来讨论导数在研究函数性态（单调性、极值、凹凸性质）方而的应用。一费马定理定义1（极值）若函数f在
2、区间X上有定义，x0GXo若存在如的邻域0（兀。，5）,使得对于任意的XG0（兀0,6）,有f（xQ）＞/（x）,则称f在点兀0取得极大值，称点兀0为极大值点。若存在兀0的邻域0（兀使得对于任意的xg（7（x0）,有/（x0）＜/（%）,则称f在点勺取得极小值，称点兀0为极小值点。极大值、极小值统称为极值，极犬值点、极小值点统称为极值点。极值存在的必要条件一一费马定理费马定理若两数在点勺的邻域内有定义，且在点兀0可导。若勺为f的极值点，则比有.厂（兀0）=0。几何意义：可导极值点的切线平行于兀轴。由费马定理可知，可导极值点是稳定点，反Z不然。如
3、/（兀）=疋,点x=0是稳定点，但不是极值点。二中值定理1.（罗尔（尺。〃£）中值定理）y6-1若函数/满足如下条件：（i）/在闭区间［d,b］上连续；（ii）f在开区间仏耐内可导；（iii）/（6/）=/（/?）,则在仏b）内至少存在一点使得/它）=0•罗尔定理的儿何意义是说：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相等，则至少存在一条水平切线（图6—1）.证因为/在［a,引上连续，所以有最大值与最小值，分别用M与加表示，现分两种情况来讨论：（1）若m=M，贝9，/在［d,b］上必为常数，从而结论显然成立.（2）若m＜M,则因=f
4、（b）,使得最大值M与最小值加至少有一个在仏b）内某点§处取得，从而§是/的极值点.由条件(ii),f在点§处可导,故由费马定理推知f^)=0.推论若f在［兀［"I上连续，在(兀1，兀2)内可导,f(Xl)=『(兀2)=。，则存在兵(西,兀2)，使得F©=°(简言之：可导函数的两个之间必有导数的零点)。注定理屮的三个条件缺少任何一个，结论将不一定成立。例1设/为R上可导函数，证明：若方程fx)=0没冇实根，则方程/(%)=0至多冇一个实根.证这可反证如下：倘若=0U两个实根西和吃(设州＜X2)f则函数/在［坷,兀2］上满足罗尔定理三个条件，从
5、而存在纟^(册，％2)，使用)=0,这与fx)0的假设相矛盾，命题得证.1.(拉格朗FI(Lagrange)中值定理)若函数满足如F条件：(0/在闭区间［。,引上连续;(«)/在开区间(d,b)内可导,则在切内至少存在一点使得厂(§)=理二血b-a显然，特别当/©)=/'⑹时，木定理的结论⑵即为罗尔定理的结论(1).这表明罗尔定理是拉格朗日定理的一个特殊悄•形.证作辅助函数弘)”一血一理迅1—b-a显然，F{a)=f(b=O),H.F在［a,引上满足罗尔定理的另两个条件.故存在(a.b),使b-a移项后即得到所要证明的(2)式。拉格郎日中值
6、定理的几何意义是：在满足定理条件的曲线y=f(x)上至少存在一点/(§)),该曲线在该点出的切线平行丁•曲线俩愆点的连线，我们在证明中引入的辅助线函数F(x),正是)111线f(x)与直线AB(y=f(a)+⑷(x-a))Z差。b-a定理的结论称为拉格朗日公式。拉格朗口公式还有下面几种等价表示形式：f(h)-f(a)=fX^(h-aa<^h都成
7、立，而纟则是介于Q与b之间的某一定数，而(4)、(5)两式的特点，在于把中值点f表示成了Q+&(方一a),使得不论为何值，&总可为小于1的某一正数。例2证明对一•切力>一1,力H0成立不等式0时，由0<&<1可推知■1.1hhf1<1+A<1+h.<1+创〉1+力>0,<8、/为/上一个常量函数.证任取两点Xx,X2EI(设Xj
