第五章非线性规划的概念和原理

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1、第五章非线性规划的概念和原理非线性规划的理论是在线性规划的基础上发展起來的。1951年，库恩(H.W.Kuhn)和塔克(A.W.Tucker)等人提出了非线性规划的最优性条件，为它的发展奠定了基础。以后随着电子计算机的普遍使用，非线性规划的理论和方法有了很人的发展，其应用的领域也越來越广泛，特别是在军事，经济，管理，生产过程自动化，工程设计和产品优化设计等方而都有着重要的应用。一般來说，解非线性规划问题要比求解线性规划问题困难得多，而且也不像线性规划那样有统一的数学模型及如单•纯形法这一通用解法。非线性规划的各种

2、算法大都有口C特定的适用范围。都有一定的局限性，到目询为止还没有适合于各种非线性规划问题的一般算法。这正是需要人们进一步研究的课题。5.1非线性规划的实例及数学模型［例题6・1］投资问题:假定国家的下一个五年计划内用于发展某种工业的总投资为b亿元，可供选择兴建的项目共冇几个。已知第j个项H的投资为幻亿元，可得收益为勺亿元，问应如何进行投资，才能使盈利率(即单位投资町得到的收益)为最髙？解：令决策变量为厂，则应满足条件-1)=0同时小应满足约束条件工ci"

3、j=XajxjJ=I最大。［例题6・2］厂址选择问题：设有n个市场,第j个市场位置为(Pj,q),它对某种货物的需要量为bj(j=1,2,L,町。现计划建立m个仓库，第i个仓库的存储容量为q(i=l,2,L,m)°试确定仓库的位置，使各仓库对各市场的运输屋与路程乘积Z和为最小。解：设第i个仓库的位置为(兀•,〉［•)(i=1,2,L9m),第i个仓库到第j个市场的货物供应量为知(=1,2,L,m,j=l,2,L/),则第i个仓库到第j个市场的距离为11标函数为ZZ©jdijZ勺』不-〃J+(兀-幻J/=1j=l

4、/=!j=l约束条件为：(1)每个仓库向各市场提供的货物量Z和不能超过它的存储容量:(2)每个市场从各仓库得到的货物量Z和应等于它的需耍量；(3)运输量不能为负数。因此，问题的数学模型为：S.t.Y©0,(z=l,2,L,m,J=1,2,L,n)一般非线性规划的数学模型可表示为：min/(兀)；s.t.g/(X)O(z=1,2,L,m),/i;(X)=0,(J=1,2,L,/)式中X=(x“2，L是n维向量，/,g,(i=l

5、,2,L,m),/i.(j=l,2,L,/)都是RJR'的映射(即自变量是n维向量，因变量是实数的函数关系)，且其中至少存在一个非线性映射。与线性规划类似，把满足约束条件的解称为可行解。若记Z={x

6、g.(X)>0,z=l,2,L，"巧(X)=0J=l,2,L,1则称力为可行域。因此上述模型可简记为min/(X)s.t.Xw力当一个非线性规划问题的口变量X没有任何约束，或说可行域即是整个n维向量空间,即X=R则称这样的非线性规划问题为无约束问题:min有约束问题与无约束问题是非线性规划的两人类问题，它们在处理方

7、法上有明显的不同。5・2无约束非线性规划问题5.2.1无约束极值条件对于二阶可微的一元函数/(%),如果f是局部极小点，则广(r)=o,并口厂(f)〉o；反之，如果广(疋)=0,厂(F)

8、)半正定；反Z,如果在T点有Vf(x)=0,V2f(x)正定,则疋为严格局部最小解。定理6.3设/(兀)是n元可微凸函数，如果Vf(r)=0,则F是上述问题的最小解。［例题6.3］试求二次函数/(xpx2)=2%j2-8^+2x22-4x2+20的极小点。解：山极值存在的必要条件求出稳定点：^-=4^-8,单-=4尤2—4,则由V/(%)=0得西=2,再用充分条件进行检验：笑=4,鶉=4,寻=寻=0,则由巧=ox{ox{oxfix2ox2oxl%2=157为正定矩阵得极小点为疋=(2,l)ro5.2.3无约束极值

9、问题的解法5.2.3.1梯度法（i）给定初始点X®,£>0；（ii）计算/（x（E）和若

10、v/（x（*））『3,迭代停止，得近似极小点X⑷和近似极小值/（X⑷）；否则，进行下一步；vf（x叫Vf（x叫（iii）做一维搜索或取心=亠L———L作为近似最佳步长,y（x⑷）v7（X⑷冋（X⑷）并计算x（M=x⑷—入巧仁⑷），令k=k+,转向第二步。［例题6・4］求解无约束