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1、1.如图，在三棱锥A-BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边,JLAD=a/3,BD=CD=1,另一个侧面是正三角形(1)求证：AD丄BC成30。角？若存在确定E的位置；若(2)在肓线AC上是否存在一点E,使ED与血BCD不存在，说明理由。2、如图，已知丄平面ACDfQE丄平ifijACD,AD=DE=2ABfF为CD的中点.(1)求证：AF//平而BCE；(2)求证：平面3CE丄平面CDE；(3)求直线BF和平面BCE所成角的正弦值.3.如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为止方形,PD=AB=2,E,F,G分别为PC、PD、BC的中点.(1)求证
2、：必〃平面EFG；(2)求证：GC丄平面PEF；(3)求三棱锥P-EFG的体积.4.如图，在体积为1的三棱柱ABC-A^C.中，侧棱AA丄底而ABC,AC丄AB,AC=AAl=,P为线段ABk的动点.Ci(I)求证：CA{丄Cf；(I【)线段AB上是否存在一点P,。1使四而体P-AB}CX的体积为右？若存在，'；请确定点P的位置；若不存在，请说明理山.xk.5、如图,四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD是正方形,侧ffiPDC是边长为Q的正三角形，且平面PDC丄底面ABCD,E为PC的中点。(I)求界血直线PA与DE所成的角;(II)求点D到面PAB的距离.6.(2009
3、全国卷II)如图,直三棱柱中,丄ACQ、E分别为AA】、的中点,DE丄平而BCG(I)证明：AB=AC(II)设二而角A-BD-C为60：求B.C与平而BCD所成的角的大小1、【解】⑴:作AH丄面BCD于H旌DH.取BC的中点0,连40、DO.则有A0丄BC,DO丄BC4分/.BC丄面AOD,.・.BC丄AD6分AC⑵设E为所求的点，作EF丄CH于F,连FD•则EF//AH7分EF丄面BCD2EDF就是ED与而BCD所成的角，则ZEDF=30°・.・・.・.8分设EF二兀，易得AH=HC=1,则CF=x,FD=J1+/.*EFx羽tanZEDF==/=——，FDV1T7310分解得“
4、亍则吐屈"•….^分故线段AC上存在E点“FLCE=1时,ED与面BCD成30。角12分2、方法一：B5分(1)证法一：取CE的中点G,连FG、BG.•・・F为CD的中点，AGF//DEHGF=^DE.2VAB丄平而ACD,QE丄平而ACD,:.ABIIDE,:.GFIIAB.乂AB=-DEf:.GF=AB.2・・・四边形GFAB为平行四边形，则AF//BG.VAF(Z平而BCE,BGu平而BCE,:.AF//平而BCE.证法二：取DE的屮点M,连AM.FM.•・・F为CD的中点，:.FM//CE.VAB丄平面ACDfDE丄平面ACD,:.DEIIAB.乂AB=-DE=ME,2・•・
5、四边形ABEM为平行四边形，则AMIIBE.3分・・・FM、AM(Z平面BCE,CE、BEu平面BCE,:.FMII平面BCE,AMII平面BCE.又FMCAM=Mf:.平面AFM〃平面BCE.4分AFu平而AFM,AAF//^h]BCE.5分⑵证:VMCZ）为等边三角形，F为CD的屮点，・・・AF丄CD.VDE丄平而ACD,AFu平而ACD,:.DE丄AF.又CDCDE=Df故AF丄平面CDE.•BGIIAF,BG丄平而CDE.・•・・BGu平血BCE,・•・平而BCE丄平面CDE.io分（3）解：在平［filCDE内，过F作FH丄CE于H,连BH.•・・平血BCE丄平面CD
6、E,:.FH丄平面BCE.・・・ZFBH为BF和平而BCE所成的角.…22分••6分7分/y设AD=DE=2AB=2a,则FH=CFsin45°=—a,2BF=yjAB~+AF2=&?+(岳)2二2a,fhRtAFHB屮，sinZFBH=——=—.BF4/y•••直线BF和平面BCE所成角的正弦值为—.4方法二设AD=DE=2AB=2a,建立如图所示的坐标系A—Jtyz,则A（0,0,0）,（7（2偽0,0）,8（0,0卫）,£＞（°,辰,0）,£仏辰,2町・（3）・・・F为CD的中点，・・・F齐亍,0(1)证：AF=-a.—a.Q.BE22/14分B2分3分yDC4分・・・AF=
7、—BE+BC,AF(Z平iMBCE,AAF〃平ifi]BCE.〔3V3证：・・•乔=-a.—a,0，丽=(—d,V^z,0),而=(0,0,—2町:.AFCD=0,AF•而=0,:.AF丄页，乔丄丽.:.AF丄平面CDE,又AF//平面BCE,・•・平面BCE丄平面CDE・解：设平面BCE的法向量为方二x+羽y+z=0,2jc—z=0,取斤=io分(x,y,z)，由川•BE=0,n•BC=0得:(1,-V3,2).12分乂BF=，设和平BCE所成的角为&，
