第22单元函数的概念

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1、函数的概念一.知识网络二.高考考点1.映射中的象与原象的概念;2.分段函数的问题:定义域、值域以及相关的方程或不等式的解的问题;3.复合函数的解析式、图象以及相关的最值等问题；4.分类讨论、数形结合等数学思想方法的应用.三•知识要点(一)函数的定义1、传统定义:设在某一变化过程中冇两个变虽x和y,如果对于某一范围内x的每一个值,y都有唯一的值和它对应，那么就说y是X的函数,X叫做自变量,y叫做因变量(函数).2、现代定义:设A、B是两个非空数集，如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都冇唯一确定的数f(x

2、)和它对应，那么就称f：A->B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x),xWA.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y的值叫做函数值,函数值的集合｛f(x)

3、xeA｝叫做函数的值域.3、认知:①注意到现代定义中“A、B是非空数集”，因此，今后若求得函数定义域或值域为4),则此歯数不存在.①函数对应关系、定义域和值域是函数的三要素，缺一不可.在函数的三要素屮，对应关系是核心,定义域是基础，当函数的定义域和对应法则确定Z后,其值域也随Z确定.(一).映射的概念将函数定义屮的两个集合从非空数集扩展到任意

4、元素的集合，便得到映射概念.1、定义1：设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f,对于集合A中任何一个元素，在集合B小都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应(包扌舌集合A、B及集合A到集合B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射，记作f：A-B2、定义2:给定一个集合A到集合B的映射f：A-B,且aWA,bGB,如果在此映射Z下元索a和元索b对应，则将元索b叫做元索a的象元索a叫做元索b的原象.即如果在给定映射下有f：a-b,则b叫做a的象a叫做b的原象.3、认知：映射定义的精髓在于“任一(元素)对应唯-(元索)”，即A屮任一元素在B

5、中都有唯一的象.在这里,A中元素不可剩，允许B屮有剩余；不可“一对多”，允许“多对一”•因此，根据B中元素有无剩余的情况,映射又可分为“满射”和“非满射”两类.集合A到集合B的映射f：A->B是一个整体,具有方向性；f：A->B与f：B->A一般情况下是不同的映射.(二)、函数的表示法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法和口头描述法.1、解析法:把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式,简称解析式.2、列表法:列出表格表示两个变量的两数关系的方法.运川列表法表示的，多是理论或实际生活中偏于实用的函数

6、.3、图象法:用函数图象表示两个变量之间函数关系的方法.图象法直现形象地表示出函数的变化情况，是数形结合的典范•只是它不能精确表示自变量与函数值Z间的对应关系.认知：函数符号的意义在函数的概念中，我们用符号“y二f(x)”表示“y是x的函数”这句话.其中，对于运用解析法给出的函数y=f(x),其对应法则“f”表示解析式蕴含的对口变量x施加的“一套运算的法则”，即一套运算的框架.具体地，对于函数f(x)二5尸_2x+3(x>1)①对应法则“f”表示这样一套运算的框架：5()2-2()+3,()>1・即f:5()2-2()+3,()>1.据

7、此，我们可分别对函数值与函数表达式作以诠禅和辩析：f(a)：对自变屋x的取值a实施上述运算后的结果，故冇f(a)=5-2-2a+3(a>l);f(x):对自变量x实施上述运算后的结果，故有f(x)二5/-2x+3(x>l);f(g(x)):对函数g(x)实施上述运算后的结果,于是有f(g(x))二5亍(x)-2g(x)+3(g(x)>l)②感悟:函数符号意义之卜•的产物或推论右比较才能有鉴别，有品味才能有感悟.我们仔细地比较和品味①、②,不难从中悟岀这样的代换规律：凡是<1»位・上均換以gfa)(包括fgsa中fiB«)Jf(X)的解析

8、Jg闔叫⑹f[g)]的表达式我们将上述替换形彖地称之为“同位替换”・显然，同位替换是在函数符号的意义下产牛的函数特有的替换,它源于“等量替换”，又高于“等量替换”，对于同位替换，在两式不町能相等的条件下仍可操作实施，这是“等量替换”所不能比拟的.由f(x)的解析式导出f(x+l)的解析式，便是辩析两种替换的一个很好的范例.1四•经典例题Y1：x=tAB1D32例1.如右图，在直角梯形OABC中,AB〃OC,BC丄g且AB=1,0C=BC=2,直线1:x二t,P截此梯形所得位于1左方的图形面积为S,则函数S=f(t)的大致图象是以下图形中

9、6分析1:立足于f⑴在te[0,l]±的函数式•直线0A的方程为y=2x,故当OWtWl吋,一・C2t)・t=Fs=2,，由此否定A,B,D,应选C.分析2:运用运动的观点,感悟函数图象所反映的函数值随着门