数学美欣赏 3.3 数学中的神秘

《数学美欣赏 3.3 数学中的神秘》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、数学美欣赏第5讲3.3数学中的神秘数学中有许多新奇、巧妙而又神秘的东西吸引着人们，这是数学的趣味、魅力所在，它们“像甜蜜的笛声诱惑了如此众多的‘老鼠’，跳进了数学的深河”．在数学的各种问题中，最显见、最简单、最令人感到神秘的莫过于数的性质问题了．人类社会中，数是一种最独特，但又最富于神秘性的语言．生产的计量、进步的评估、历史的编年、科学的构建、自然界的分类、人类的繁衍、生活的规划、学校的教育、······，无不与数有关．远在古代,人们就已对数产生了某种神秘感.在古希腊的毕达哥拉斯学派眼中，数包含着异常神奇的内容．有些

2、民族根据数的算术属性，对自然界和人类社会的现象给出了神秘的解释，尽管其中不无荒诞、牵强.这些事实反过来告诉我们,自古以来,人们对数就有着特殊的感情．数除了用于计量，人们还附加给它许多文化内涵．18数字的许多颇具魅力、令人赞赏的性质，使许多大科学家、文学家、艺术家们大为感慨．伽利略曾说：“数学是上帝用来书写宇宙的文字”．公元前三百多年，古希腊数学家欧几里得在《几何原本》的第九章中，有这样一段奇妙的记载：在自然数中，我们把恰好等于自身的全部真因子之和的数，叫做完全数．像，，和这四个数就是完全数．请看：的全部真因子之和恰好

3、等于(也是丢番图方程的唯一解),而的全部真因子之和．同样，和也有相同的性质．多么美妙!难怪有人把它们称为自然数中的瑰宝．宗教学者将它们视为宇宙经纬的一部分：上帝创造世界用了天，月亮绕地一周需天．但是，完全数的神奇之处并不仅限于此，数学家们还在这些个稀少的数中发现了更令人惊叹的特性．请看：(1)；；，……;(2);;,……；(3)除外,;，……；(4)完全数的全部因子的倒数和都等于(其实与上面性质无异，只是另一种表述而已)：对:(用除的两边,两边再加);对:；(用除的两边,两边再加);……18具有这些许许多多奇妙的特性

4、，这些数真无愧于完全数的美称!然而，惊叹之余，数学家们还有更高的“奢望”，那就是如何寻找出新的(甚至全部)完全数．这方面的先师仍要首推欧几里得．他在《几何原本》的第九章中，给出了一个命题：若为质数，则是一个完全数(事实上,等于其全部真因子之和：)．该命题为后人寻找新的完全数提供了信息．但是，自然数浩如烟海，而完全数仅沧海一粟.在这渺茫的数海中，寻求它们(纵然是找型的质数)谈何容易!人们经过了千余年的探索，结果仍是“上穷碧落下黄泉，两处茫茫皆不见”．直至1460年，人们偶然发现,在一位无名氏的手稿中,竟神秘地给出了第个

5、完全数：．此后，法国数学家梅森在寻找型的质数(称为梅森质数)上有了突破，几个新的完全数陆续被发现．1730年,欧拉又给出一个令人振奋的结论，即:若是一个偶完全数，则必有的形状．这一成就,使得梅森质数和偶完全数之间建立起了对应关系，也使欧拉和欧几里得在完全数的研究领域中平分秋色．令人遗憾的是，到目前为止，人们仅找到了个完全数(它们恰好与梅森质数对应)，并且它们都是偶数．是否存在奇完全数?完全数是否有无穷多个?这仍是待解之谜．1953年，人们发现,奇完全数若存在，它必为或型的数(为自然数)．181972年,有人证明：奇完

6、全数只能在大于的数中找，且它必为形式，其中为奇质数，和为整数(但你仍不敢贸然说它不存在)．1990年,这个下限已增至(具体情况见下表)．1975年,有人从另一角度研究奇完全数并指出：奇完全数的质因子个数不少于个，且最大质因数不小于．到1983年,质因子个数的下界提高到个(若它不是个的话)．1994年,英国人布朗还证得：若奇完全数存在且有个因子，则它小于．我们再来看看亲和数的奇妙性质．纪元前的一些人类部落把和两个数字奉若神明．男女青年择偶时，往往先把这两个数分别写在不同的木签上，他们若分别抽到了和，便被确定结为终生伴侣

7、；否则，他们天生无缘，只有分道扬镳．这种缔婚方式固然是这些部落的陋俗，但在某种迷信色彩的背后，却隐匿着人们对于这两个数字的敬畏．表面上，这两个数字似乎没有什么神秘之处，其实不然：的全部正整数真因子之和恰好等于；而的全部正整数真因子之和又恰好等于．这真是绝妙的吻合!一般地,若和是两个不同的自然数,的真因数的和是18,的真因数的和是,则和就称为一对亲和数.因此,和是一对亲和数.也许有人认为，这种吻合极其偶然,抹去神秘的面纱，很难有什么规律蕴含于其中．其实恰恰相反，这偶然的吻合引起了数学家们的极大关注.他们花费了大量的精力

8、进行研究、探索，终于发现，亲和数对不唯一，它们在自然数中构成了一个独特的数系．第一对亲和数也是最小的一对，是毕达哥拉斯于2000多年前发现的．第二对亲和数是1636年由法国业余数学家费马找到的．第三对亲和数于1638年被法国数学家笛卡儿发现(真正的第二对亲和数的发现者为意大利人帕格尼尼，时间是1866年)．1750年，数学大师欧拉一连气竟找出了