高三数学综合复习知识点整理

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1、第1讲集合1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合（1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作；若b不是集合A的元素，记作；（2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；（3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；列举法：把集

2、合中的元素一一列举出来，写在大括号内；描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。（4）常用数集及其记法：非负整数集（或自然数集），记作N；正整数集，记作N*或N+；整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R。2．集合的包含关系：（1）集合A的任何一个元素都

3、是集合B的元素，则称A是B的子集（或B包含A），记作AB（或）；集合相等：构成两个集合的元素完全一样。若AB且BA，则称A等于B，记作A=B；若AB且A≠B，则称A是B的真子集，记作AB；（2）简单性质：1）AA；2）A；3）若AB，BC，则AC；4）若集合A是n个元素的集合，则集合A有2n个子集（其中2n－1个真子集）；3．全集与补集：（1）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U；（2）若S是一个集合，AS，则，=称S中子集A的补集；（3）简单性质：1）()=A；2）S=，=S4．交集与并集：（1）一般地，由

4、属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集。交集。（2）一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集。注意：求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。5．集合的简单性质：（1）（2）（3）（4）（5）（A∩B）=（A）∪（B），（A∪B）=（A）∩（B）。【典例解析】题型1：集合的概念例1．（

5、2009广东卷理）已知全集，集合和的关系的韦恩（Venn）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有()数学01---第18页共18页A.3个B.2个C.1个D.无穷多个答案B解析由得，则，有2个，选B.例2．(2009山东卷理)集合,,若,则的值为()A.0B.1C.2D.4答案D解析∵,,∴∴,故选D.题型2：集合的性质例3．(2009山东卷理)集合,,若,则的值为()A.0B.1C.2D.4答案D解析∵,,∴∴,故选D.1.设全集U=R，A={x∈N︱1≤x≤10}，B={x∈R︱x2+x－6=0}，则下图中阴影表示的集合为

6、（）A．{2}B．{3}C.{－3，2}D．{－2，3}2.已知集合A={y

7、y2-(a2+a+1)y+a(a2+1)>0},B={y

8、y2-6y+8≤0}，若A∩B≠φ，则实数a的取值范围为（）．解：由题知可解得A={y

9、y>a2+1或y

10、2≤y≤4},我们不妨先考虑当A∩B＝φ时a的范围．如图由，得∴或.即A∩B＝φ时a的范围为或.而A∩B≠φ时a的范围显然是其补集,从而所求范围为.注：一般地，我们在解时，若正面情形较为复杂，我们就可以先考虑其反面，再利用其补集，求得其解，这就是“补集思想”．例4．已知全集，A=

11、{1,}如果，则这样的实数是否存在？若存在，求出，若不存在，说明理由解：∵；∴，即＝0，解得当时，，为A中元素；当时，当时，∴这样的实数x存在，是或。另法：∵∴，∴＝0且∴或。数学01---第18页共18页点评：该题考察了集合间的关系以及集合的性质。分类讨论的过程中“当时，”不能满足集合中元素的互异性。此题的关键是理解符号是两层含义：。变式题：已知集合，,,求的值。解：由可知，（1），或（2）解（1）得，解（2）得，又因为当时，与题意不符，所以，。题型3：集合的运算例5．(2008年河南省上蔡一中高三月考)已知函数的定义域集合是A,

12、函数的定义域集合是B（1）求集合A、B（2）若AB=B,求实数的取值范围．解（1）A＝B＝（2）由AB＝B得AB，因此所以,所以实数的取值范围是例6．（2009宁夏海南卷理）已知集合,则()A.B.C.D.答案A解析易有，选A题型4：