几种需要考虑左右极限函数

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1、几种需要考虑左右极限函数摘要：左右极限的概念和计算是高等数学教学的重点和难点，可并不是所有函数都是左右极限相等，求有些函数的极限需要考虑其左右极限。本文总结了求极限需考察左、右极限的几种函数。关键词：极限；左右极限；函数求函数极限的方法很多，有些函数可直接计算极限。另外，还有些函数需要分别考查两个单侧极限，即左、右极限,然后利用函数极限存在的充分必要条件判断。若左、右极限相等，则函数在该处的极限存在；否则不存在。需考察左、右极限的函数求极限问题是教学的难点，为了便于掌握，将常见题型分析如下：一、求分段函数在分段点的极限一般地，若某点的两侧是同一表达式，则可直接计算双侧极限，如果是分段函数的区间

2、分段点，由于分段点的两侧具有不同的表达式，因而左右极限有可能不同，必须考察左、右极限。求分段函数在分段点的极限时，不必考虑函数在分段点的取值情况，只需分析在分段点左右两侧的取值情况即可。例1：函数f(x)=x+lx>lx-1xWl,问・f(x)在X=1处的极限是否存在。解:f(x)在x二1处的右极限f(x)二・x+l二2,f(x)在x二1处的左极・f(x)二■xT二0,因为・f(x)(x),所以f(x)在x=l处的极限不存在。二、求含绝对值的函数的极限含绝对值的函数在求极限时，一般可先去掉绝对值，改写为分段函数，然后再考察函数在分段点的左、右极限。例2：考察函数f(x)二■在x=0处的极限。解

3、：将1x1改写为分段函数

4、xh-x,xl时，有00且aHl)的函数极限，或求当x趋于零时含a■的函数的极限因为当a>l时，・3天二0或・a■二0,■ax=+°°或■aB=+°°,当0・ax二+8或・a■二+8，所以・ax或・a■不存在。故需要讨论左右极限。例4：讨论f(x)=■)在x二0处的极限是否存在。解:当X—0-时・2■二・2u二0,当x->0+时■2■二二+8,所以・f(x)二■■二■二-1,Hf(x)二■■二■二1，因此该函数在x=0处的极限不存在。五、求含arctanx(arccotx)的函数x趋向无穷的极限,或含arctanH(arccotB)的函数x趋于零的极限这是因为当■ar

5、ctanx二兀/2,当・arctanx二-兀/2,故■arctanx不存在。同样■arccotx二n,■arccotx=0,故■arccotx不存在。同理当X—0+和x—0-时arctanH(arccot■)的极限值不相等，故需讨论左、右极限。例5：求极限■■的值。解：因为■■二・=0,■■=■=0,该函数的左右极限存在且相等，故所求极限存在且■■=0。六、求含偶次方根的函数的极限由于开偶次方根的结果为非负数，求x—xO或x—00时的极限，应分x-*x0+或X—00和x-*x0-或X—两种情况讨论。例6：求・x(■-x)解：因为・x(H-x)=■■=■■=■,Hx(H-x)二■■二■■=8,故

6、所求极限不存在。左、右极限的概念和计算是高等数学教学的重点和难点，这部分内容概念抽象，题型灵活多样，需要及时总结归纳。只有深刻理解基本概念，掌握好各种题型的解题技巧，才能找到解决问题的切入点和突破口。参考文献：[1]同济大学数学教研室•高等数学[M].北京：高等教育出版社，1997.[2]吴良森•数学分析习题精解[M].北京：科学出版社，2003.