中学数学解题策略讲义(学生专用)

《中学数学解题策略讲义(学生专用)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、《中学数学解题策略》课程讲义教师教育学院任课教师朱鸿玲第一章轨迹教学目的要求：使学生掌握轨迹探求的方法，学会轨迹问题两面证明的方法教学方式:以讲授为主，采取讲练结合的教学方式教学内容:第一节轨迹的意义第二节轨迹命题的三种类型第三节基本轨迹命题第四节三种类型轨迹命题举例第一章轨迹§1轨迹的意义一、轨迹的概念轨迹概念来源于力学，而形成、完善于几何学。定义：满足条件C的一切点所构成的图形F，称为由条件C所规定的轨迹。轨迹定义揭示了以下两方面意义：（1）适合条件C的任一点都在图形F上；（2）图形F上的任一点都适合条件C。（1）称作完备性（2）称作纯粹性，它们是轨

2、迹的两个基本属性。二、轨迹的证明与普通几何定理不同的是，对于一个轨迹题，要特别注意两面证的必要性，这是轨迹定义所规定的：（1）完备性：适合条件C的任一点都在图形F上；（2）纯粹性：图形F上的任一点都适合条件C。逆否命题：（1）完备性：不在图形F上的任一点，必不适合条件C。（2）纯粹性：不适合条件C的任一点，必不在图形F上；完备性保证了合于条件的点都在图形上，没有遗漏，纯粹性保证了图形上的点没有鱼目混珠或冒充，都适合条件。§2轨迹命题的三种类型轨迹命题因叙述方式的不同而分为三种类型，这是由浅入深由易到难的顺序。第一类型轨迹命题，明白说出轨迹的形状和位置，如

3、有大小可言，也一并指出。证明第一类型的命题分为三步：（1）证完备性，即证明合于条件的点都在指示的图形上，或证其等效命题，即不在所示图形上的点不合于条件;(2)证纯粹性，即证所示图形上的点合于条件，或证其等效命题，即不合条件的点不在所示图形上;(3)下结论，即判断命题成立。不待证明完毕，便说“满足条件的点在轨迹上”或“在轨迹上的点满足条件”，是没有意义的。因为这两句话是不待证明便成立的，至于轨迹是什么图形，在没有完成完备性或纯粹性的证明之前充其量是一种预测。第二类型轨迹命题，明白说出轨迹的形状，至于位置或大小，或叙述不全，或干脆不说。解决第二类命题也分三步

4、：（1）探求轨迹，即预测轨迹的位置和大小，使其完全确定;（2）证明(其中包括：证完备性、证纯粹性、下结论);（3）讨论，即研究给定的条件对轨迹的影响，第三类型轨迹命题，只给出条件，至于轨迹的形状、位置和大小则一概不提。解这一类型的命题，如解决第二类型一样，只是探求时还麻烦一点而已。举例:第一类型：距两定点等远的点的轨迹，是该两点连线段的中垂线。第二类型：距两定点等远的点的轨迹是一条直线。第三类型：求距两定点等远的点的轨迹。 §3基本轨迹命题下列轨迹命题乃读者所熟知，述而不证，以备应用·1．距两定点等远的点的轨迹，是该两点连线段的中垂线·2．距两相交直线等

5、远的点的轨迹，是两条互垂的直线，它们平分两定线所成的角·3．距两平行的定直线等远的点的轨迹，是平行于它们的一条直线即两平行线的公垂线段的中垂线·4．至定直线的距离为定长的点的轨迹，是平行于定直线的两条直线，各在定直线的一侧且距离定线等于所设定长·5．至定点的距离为定长的点的轨迹为一圆周，以定点为其中心而以定长为半径·6．对定线段的视角为定角α(0<α<2d)的点的轨迹，是对称于定线段(所在直线)的两个圆弧，以定线段为弦而其内接角等于α.不但会说出还要会作出这两圆弧·特别，当α=d时，轨迹变为以定线段为直径的圆周·§4三种类型轨迹命题举例1.第一类型轨迹命

6、题举例上面已讲过，第一类型轨迹命题中含有条件以及轨迹的形状、位置乃至大小，我们所要做的只是互逆的两面证明，以证实结论·例1设一点与一定圆的距离等于圆半径,则该点的轨迹为该圆中心和一个半径加倍的同心圆的并.假设:点P与定圆O(r)的距离PA=半径r求证:点P的轨迹是点O和圆O(2r)证明:1º证完备性设P在圆O(r)内部,连P,O两点延长交圆于A点,则由假设OP=OA-PA=0，即点P重合于圆心O.若P在圆O(r)外部,连P,O与O(r)交于A点则PA=r则OP=OA+AP=r+r=2r,即点P在圆O(2r)上.2º证纯粹性根据定义,点O到圆O(r)的距离

7、是r,即点O合乎条件.其次在圆O(2r)上任取一点P,因P在圆O(r)外部.线段OP必交圆O(r)于一点A,且AP=OP-OA=2r-r=r.即点P合乎条件.3º由1º,2º,所以合乎条件的点的轨迹是点O和圆O(2r)的并集.例2给定直角XOY，一条定长（记为a）的线段AB两端在角的两边上滑动，则AB中点P的轨迹是以O做中心以做半径的圆被角的两边所截的弧QR（见图）证：10完备性（即要证满足条件的AB线段上的中点P的全体，都在RQ上）设P为AB中点，则P为直角△OAB斜边中点。∴OP=AB=即点P确在弧QR上。20纯粹性（即弧QR上任一点均是满足条件的P

8、）在弧QR上任取一点P，以P为中心作通过点O的圆，交直角XOY的两边于A、B。由