因式分解掌握方法与技巧资料

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1、因式分解一、因式分解的技巧： 1.首选提取公因式法：即首先观察多项式中各项有没有公因式，若有，则先提取公因式，再考虑其他方法。 2.当多项式各项无公因式或已提取公因式时，应考察各多项式的项数。      （1）当项数为两项或可看作两项时，考虑利用平方差公式［a2－b2＝（a＋b）（a－b）］。      （2）当项数为三项时，可考虑完全平方公式、十字相乘法、求根公式法、配方法。      （3）当项数为四项或四项以上时，可考虑分组分解法。      a.当项数为四项时，可按公因式分组，也可按公式分组。      b.当项数为四项以上时，可按次数分组，即可将次数相同的项

2、各分为一组。 3.以上两种思路无法进行因式分解时，这时考虑展开后分解或拆（添）项后再分解。二.因式分解的方法：（一）提公因式法      方法介绍：如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。 例1.      分析：此多项式各项都有公因式x，因此可提取公因式x。       （二）应用公式法      方法介绍：应用乘法公式，将其逆用，从而将多项式分解因式，如果是两项的考虑平方差公式，如果是三项的考虑用完全平方公式。 例2.分析：此多项式看作两项，正好符合平方差公式，因此可利用平方差公式分解。      解： 

3、例3.      分析：此多项式有三项，正好符合完全平方公式，因此考虑用完全平方公式分解。      解： （三）分组分解法      方法介绍：分组分解法是因式分解中的重要方法和技巧之一，分组的目的是为提取公因式，应用乘法公式或其它方法创造条件，以便顺利地达到分解因式的目的。下面介绍八种常见的思路： 1.按公因式分组： 例4.      分析：此题有四项，考虑将它们分组，其中第1、2项有公因式m，第3、4项有公因式p，可将它们分别分为一组。      解： 2.按系数特点分组： 例5. 分析：观察系数特点第一、二项和第三、四项的系数比为1：2，所以可考虑将第一、二项

4、和第三、四项分为一组，或第一、三项和第二、四项分为一组。      解： 3.按字母次数特点分组： 例6.      分析：此题有一次项，也有二次项，可将一次项分为一组，二次项分为一组。      解：  4.按公式特点分组： 例7.      分析：此题可将第2、3、4项分为一组，运用完全平方公式，再从整体上运用平方差公式。      解： 5.拆项分组： 例8.  分析：为了便于运用乘法公式，可将-3拆成-4＋1，再适当分组，达到因式分解的目的。      解：                  7.换元分组： 例9.      分析：观察代数式中的x＋y，xy可

5、考虑用换元法，使之结构简化，再分组。      解：，则        （四）待定系数法      方法介绍：首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。 例10.      分析：观察这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。      解：                   利用恒等式的性质可得：      （五）十字相乘法：      方法介绍：对于mx2＋px＋q形式的多项式，如果ab＝m，cd＝q且ac＋bd＝p，则多项式可因式分解为：（ax＋d）（bx＋c）。 例11. 分析：这是一个三项式，它不符

6、合完全平方公式，因此可考虑用十字相乘法分解因式：      解：（六）巧用换元法：      方法介绍：对于较复杂的一些多项式，通过适当的换元，可达到减元降次，化繁为简的目的。 1.取相同部分换元 例12.      分析：若将上式展开，得到一个四次多项式，更加难分解了，如将m2－5m看作一个整体，这样乘积得到的式子就简化了。      解：三、分解因式：1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、(1)(x＋p)2－(x＋q)2；(2)16(a－b)2－9(a＋b)2；1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20

7、21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38.39.40.41.42.43.44.45.46.47.48.49.50.51.52.53.54.55.56.57.58.