正文描述:《用一个推广的命题证明第50届imo第6题》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、l2中等数学赛题新解用一个推广的命题证明第50届IM0第6题卢道帝(北京大学数学科学学院07级,100871)中图分类号:0157.2文献标识码:A文章编号:1005—6416(2010)05—0012—02题目设“,n,⋯,n是互不相同的正离是o,口,⋯,n的某个排列.证明:可以选整数.是有n一1个元素的正整数集,且不择一种排列,使得蚱蜢跳跃落下的点所表示含数s=0+n+⋯+“一只蚱蜢沿着实数的数都不在集合M中.j轴从原点0开始向右跳跃步,它的跳跃距(第50届IMO)事实上,可以通过用数学归纳法证明下收稿日期:2009—09一l7为了精益求精,解题总是
2、希望从该方法线,、Ⅳ为垂中找到纯几何的求解方法,这就需要分析式足,联结FD、①、②所蕴含的几何意义.BF.则先看式①.由余弦定理知,分母△PENv/一—+2m/2co—s0+n2∽△PEMpFFN2恰好是对角线BD的长,而分子一PE—EM’rosin0·tacos0=BE·EC.由已知得这正是Rt△EBC的面积的两倍,这就启发Rt△CDF∽Rt△CBE解题者将式①改写为EM·曰D=BE·ECj==筹.11=EM-BD=BE·EC二又SDF:S△c,】,,S△c韶:S舵,则肋:SⅢ.SAD,ABsDBEADL而式③显然成立.S~BD同理,式②可以改写为F=
3、,得sF叻=S、.聒其实,式③、④都是极显然的事实,只是FN.A一P一A壁.EM一4D一PF—AD‘学生在此之前不易看出.正是借助解析法,发现了必然要用到的显然的事实.自然能正确通过以上分析有了一个体会,即有些辅地作出辅助线.助线是“算”出来的。经上分析,得到了一个纯几何解法.参考文献:[1]阚政平.初225[J].中等数学,2008(6)解如图2,过点E、F分别作BD的垂2010年第5期面推广的命题来证明原题.的各加数(即a。,a:,⋯,a⋯中除a⋯一以外命题P(n,)设a,a,⋯,a是互不的数)的某个排列跳到A“而且中间各步落相同的正整数.是有k(0
4、≤
5、蚱蜢跳跃落下的点所表结论.示的数都不在集合中.(i)a¨为红色当且仅当A¨∈或对任原题为k=一1的情形.意的(1≤≤i),A为红色(此时≥2)..证明对n进行归纳.(ii)A“(1≤i≤聘一1,2≤J.≤i+1)为红色当=1,2时,命题P(n,k)显然成立.仅有以下两种可能:假设对任意小于凡的正整数以及任意(a)a∈M(是充分条件);的Ii}(0≤2).
6、个i(2≤i≤一1),使得第注意到图1中的数两两不同.i一1行的所有数被染成红色,则取满足此条01d2件的最小的i.a1+Ⅱ2a1+a3a2+Ⅱ3设第i一2行中被染成白色的数有W个(当i=2时,设=1).i—l∑o∑o+o+则由归纳假设,集合中小于A.的t=1t=I元素数目k≥(i一1)一W.不妨设第i一2行中被染成白色的最右n一1n一2∑n∑o+n端的数为A-2j"则由于第一1行的所有数t=1t=1被染成红色,.。以及第i一2行中所有白色图1数的右下方的数(即第i一2行中那些白色数图1中第i行第列(1≤i≤n一1,1≤≤分别与a的和)都必须在集合中.这
7、样,i+1)的数A为a1,a2,⋯,a中除aⅢ一,以外的数相加之和图1中任意两数靠下(行集合中不大于A一1,j+l:A.,+a的数至数大)的数较大.处于同一行的两数靠右的少有+WH+1≥i个.数较大.由于集合中元素个数后≤n一1且n—i下面对每个数进行染色,染色规则如下.个数A一2√+n+1,A一2J+a+2,⋯,4一2J+n(1)如果蚱蜢能按某个数两两不同且都大于A.,+=AH,,+a,则2J+0+1,A2+0+2,⋯,AAij=0l+02+⋯+0+0。+l一一~—+2,+n中至一』ai+3+⋯+ai+1一少有一个不在集合M中,记为B。14中等数学用对
8、应原理解一类几何计数问题王宇(天津师范大学数学科学学院09级研究生,300387
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