数值分析课件02

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1、数值分析数值分析第二章矩阵分析基础第一节线性空间第二节赋范线性空间第三节内积空间第四节矩阵代数基础第五节矩阵的三角分解第六节矩阵的正交分解第七节矩阵的奇异值分解数值分析数值分析第一节线性空间一、线性空间的定义二、线性空间的性质三、线性空间的基与维数四、元素在给定基下的坐标五、线性空间的同构六、基变换公式与过渡矩阵七、坐标变换公式八、线性空间的子空间数值分析数值分析一、线性空间的定义数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是一个抽象的概念，它是向量空间概念的推广．线性空间是为了解

2、决实际问题而引入的，它是某一类事物从量的方面的一个抽象，即把实际问题看作线性空间，进而通过研究线性空间来解决实际问题．数值分析数值分析定义设是一个非空集合，为数域．如果(1)对于任意两个元素　，总有唯一的一个元素与之对应，称为与的和，记作(2)对于任一数与任一元素，总有唯一的一个元素与之对应，称为与的积，记作如果上述的两种运算满足以下八条运算规律，那么就称为数域上的线性空间．数值分析数值分析数值分析数值分析2．线性空间中的元素不一定是有序数组．3．判别线性空间的方法：一个集合，对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八条性质的

3、任一条，则此集合就不能构成线性空间．说明1．凡满足以上八条规律的加法及数乘运算，称为线性运算．数值分析数值分析（１）一个集合，如果定义的加法和数乘运算是通常的实数间的加乘运算，则只需检验对运算的封闭性．例１实数域上的全体矩阵，对矩阵的加法和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作．线性空间的判定方法数值分析数值分析通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运算满足线性运算规律．数值分析数值分析数值分析数值分析例４正弦函数的集合对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成线性空间．数值分析数值分析是一个线性空间.例５在区间上全体实连续函数，对函数的

4、加法与数和函数的数量乘法，构成实数域上的线性空间．数值分析数值分析例６正实数的全体，记作，在其中定义加法及乘数运算为验证对上述加法与数乘运算构成线性空间．（２）一个集合，如果定义的加法和数乘运算不是通常的实数间的加乘运算，则必需检验是否满足八条线性运算规律．证明所以对定义的加法与数乘运算封闭．数值分析数值分析下面一一验证八条线性运算规律：数值分析数值分析所以对所定义的运算构成线性空间．数值分析数值分析不构成线性空间．对于通常的有序数组的加法及如下定义的乘法例７个有序实数组成的数组的全体数值分析数值分析(1)零元素是唯一的．二、线性空

5、间的性质(2)负元素是唯一的．(4)如果，则或.数值分析数值分析三、线性空间的基与维数已知：在　中，线性无关的向量组最多由个向量组成，而任意个向量都是线性相关的．问题：线性空间的一个重要特征——在线性空间中，最多能有多少线性无关的向量？数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析定义在线性空间中，如果存在个元素满足：数值分析数值分析当一个线性空间中存在任意多个线性无关的向量时，就称是无限维的．数值分析数值分析定义四、元素在给定基下的坐标数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析注意线性空间的任一元素在不同的

6、基下所对的坐标一般不同，一个元素在一个基下对应的坐标是唯一的．数值分析数值分析例２所有二阶实矩阵组成的集合，对于矩阵的加法和数量乘法，构成实数域上的一个线性空间．对于中的矩阵数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析五、线性空间的同构数值分析数值分析数值分析数值分析定义设是两个线性空间，如果它们的元素之间有一一对应关系，且这个对应关系保持线性组合的对应，那末就称线性空间与同构.数值分析数值分析例如与维数组向量空间同构.形成一一对应关系；数值分析数值分析则有３．同维数的线性空间必同构．２．同构的线性空间之间具有反身性、对称性与传

7、递性．结论１．数域上任意两个维线性空间都同构．数值分析数值分析同构的意义在线性空间的抽象讨论中，无论构成线性空间的元素是什么，其中的运算是如何定义的，我们所关心的只是这些运算的代数性质．从这个意义上可以说，同构的线性空间是可以不加区别的，而有限维线性空间唯一本质的特征就是它的维数．数值分析数值分析六、基变换公式与过渡矩阵那么，同一个向量在不同的基下的坐标有什么关系呢？换句话说，随着基的改变，向量的坐标如何改变呢？问题：在维线性空间中，任意个线性无关的向量都可以作为的一组基．对于不同的基，同一个向量的坐标是不同的．数值分析数值分析称此

8、公式为基变换公式．数值分析数值分析基变换公式矩阵称为由基到基的过渡矩阵．过渡矩阵是可逆的．数值分析数值分析若两个基满足关系式七、坐标变换公式则有坐标变换公式或数值分析数值分析证明数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析