椭圆离心率三种求法、中点弦方程三种求法

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1、椭圆离心率的三种求法:⑴若给定椭圆的方程，则根据焦点位置确定/求a,C的值，利用公式€=亍或利用直接求解.(2)求椭圆的离心率时，若不能直接求得刁的值，通常由己知寻求Gb,C的关系式，再与/=b2+c2组成方程组，消去b得只含d,C的方程，再化成关于0的方程求解.(3)求离心率时要充分利用题设条件中的儿何特征构建方程求解，从而达到简化运算的目的.涉及椭圆离心率的范围问题要依据题设条件首先构建关于d，b,c的不等式，消去b后，转化为关于£的不等式，从而求出e的取值范圉.1.若椭圆$+=l(Qb>0)的左、右焦点分别为F］,F2,线段时2被点化,0

2、］分成5：3ClUO二7的两段，则此椭圆的离心率为()A西R如。泌a・17b・17e5u5解析依题意,b-23->p-2-c:.a=yjb2+c2=yl5b,答案°点评本题的解法是直接利用题目中的等量关系，列出条件求离心率.2.设P是椭圆孑+話=l(Qb>0)上的一点，Fi，F2是其左，右焦点.己知ZFPF2=60。,求椭圆离心率的取值范围.分析本题主要考查椭圆离心率取值范围的求法，建立不等关系是解答此类问题的关键.解方法一根据椭圆的定义，旬PF}+PF2=2a.①在△FiPE中，由余弦定理，得“。PF^+PF^~FXF^1cos

3、60—2PFPF2~29^m2+PF22-4^=mPF2.®①式平方，#PF12+PF22+2PF1PF2=4Z③由②③，#^^2=—④由①和④运用基本不等式，得阳阳彳空严］2,即嘗曲由得专(/—圧)^/,解得e=^^.又£<1,・・・该椭圆的离心率的取值范围是1）.方法二如图，设椭圆与）‘，轴交于厲，B2两点、,则当点P位于5或B2处时，点P对两焦点的张角最大，故ZF1B2F2^ZF1PF2=60o,从而ZOB2F2>30°.在RtAOB2F2中，e=y=sinZOB2F2^sin30°=.v<厶又£<1,：.^e

4、离心率的取值范围是［,1）.点评在求椭圆离心率的取值范围时，常需建立不等关系，通过解不等式来求离心率的取值范围，建立不等关系的途径有：基本不等式，利用椭圆自身存在的不等关系（如基本量之间的大小关系或基本量的范围，点与椭圆的位置关系所对应的不等关系，椭圆上点的横、纵坐标的有界性等），判别式，极端情况等等.如上面方法二就应用了“当点P运动到短轴的端点时，点P对两焦点的张角最大”这一极端情况.（2016全国I高考）直线/经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆的中心到的距离为短轴长的一，则该椭圆的离心率为（4B)11小23A.—B.—C.—D._3234

5、解：设椭圆是焦点在x轴上的标准方程，上顶点与右焦点分别为3（0,b）、F（c,0），则直线/hrhe的方程为hx+cy-bc=0o又椭圆短轴长为2b,椭圆中心到的距离为『■=—,所QX+c1a,be1“cc1以——=—•2b,即一=—oa4a2（2017济南一中调考）设椭圆的两个焦点分别为斥、F21过鬥作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若AF}PF2为等腰直角三角形。则椭圆的离心率为（D）A.—B.^―!-C.2-V2D.V2-122解：由题意得2c=—,解得-=V2-loaa椭圆的中点弦方程的求法有三：（1）方程组法：通过解直线于与椭圆方稈联立的

6、方程组，利用一元二次方程根与系数的关系及中点坐标公式求解；（2）点差法：设直线与椭圆的交点（弦的端点）坐标为A（占,刃）、3（吃,刀），将这两点的坐标代入椭圆方程并对所得两式作差，得到一个与眩AB的中点（兀°,%）和斜率心〃有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。（3）中点转移法：先设出弦的一个端点的坐标，再借助中点得出弦的另一个端点的坐标，分别代入椭圆方程作差可得。221•已知椭圆—+^-=1,过点P（2,l）作一-条眩，使眩在这点被平分，求此弦所在的直线方程.164分析注意根与系数的关系及中点坐标公式的应用.本

7、题也可用两方程直接相减求解.解方法一由题意，知所求直线的斜率存在，设此直线的方程为y=k（x-2）+.mP=々_2）+l,y2消去y并整理，得（4处+1）兀2—8（2r2—q兀+4（2«—1）2—16=0.T6+T=1「设直线与椭圆的交点为A（兀［,yj,B（X2,『2），则也是方程的两根，所以Q+兀2=攀严.因为点P为弦的中点，所以2=^4^=4務解得k=-.故所求直线的方程为兀+2〉，一4=0.方法二（点差法）设所求直线与椭圆的交点为A（兀p）,Bg,乃）.因为点P为弦AB的中点,所以兀［+兀2=4,刃+力=2.又因为A,B在椭圆上，所

8、以彳+4并=16,£+4）纟=16.两式相减,得（4一£）+4&一分）=0,即（q+x2）U］一兀2）+4®i+歹2）（）'1—Y2）=0,即kAB=