工程优化目标函数的几种极值求解方法c编程

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1、目标函数极值求解的几种方法题目：分别用最速下降法，牛顿法，共辘梯度法，拟牛顿法求函数/=（^-1）2+5（兀2-5）2+（心一1）2+5（兀4一5）2的最小值，初始点自拟。一维搜索法：迭代下降算法大都具有一个共同点，这就是得到点兀⑷后需要按某种规则确定一个方向d⑷，再从兀⑷岀发，沿方向d⑹在直线（或射线）上求目标函数的极小点，从而得到X⑷的后继点兀如），重复以上做法，直至求得问题的解，这里所谓求目标函数在直线上的极小点，称为一维搜索。一维搜索的方法很多，归纳起来大体可以分为两类，一类是试探法：采用这类方法，需要按某种方式找试探点，通过一系列的试探点来确定极小点。另一类是函数逼近法或插值法：这

2、类方法是用某种较简单的曲线逼近本来的函数曲线，通过求逼近函数的极小点来估计目标函数的极小点。这里采用的是第一类试探法屮的黄金分割法。实现过程如下：（1）置初始区间［40］及精度要求L>0,计算试探点人和"，计算函数值/（人）和/（Ai）,计算公式是：人二⑷+0.382（勺-绚），M=4+0.618（$-®）。令k二1。（2）若如-蘇“则停止计算。否则，当/（几）>/（弘）吋，转步骤（3）；当/（以）5/仏）时，转步骤⑷o（3）置昭1=4,优+1=勺，入+严儿,儿+i如+0・6180如一％丄计算函数值八心,转⑸。（4）置=ak,bk+i=A,A+i=以,入+1二+°・382仇+

3、-务和），计算

4、函数值/（入」，转⑸。最速下降法实现原理描述：在求日标函数极小值问题时，总希望从一点出发，选择一个日标函数值下降最快的方向，以利于尽快达到极小点，正是基于这样一种愿望提出的最速下降法，并且经过一系列理论推导研究可知，负梯度方向为最速下降方向。最速下降法的迭代公式是兀如）=无“）+牝⑷，其中卅）是从用出发的搜索方向,这里取在点M处最速下降方向，即d⑷=-V/（/）oA,是从用出发沿方向少）进行的一维搜索步长,满足卅）+刑））=min.f（兀⑷+加⑹）。实现步骤如下：（1）给定初点兀⑴wR",允许误差£>0,置k=l。（2）计算搜索方向〃）=-▽/（#）,若⑷

5、"，则停止计算；否则，从用出发,沿

6、方向〃⑹进行的一维搜索,求入，使/（兀⑷+心〃⑷卜min/（兀⑷+加⑷）。久no（3）兀（曲）=兀伙）+心〃⑷，置k二k+1返冋步骤（2）。牛顿法牛顿法迭代公式：代丄朋+入少），少）是在点严）处的牛顿方向，〃⑷⑷）」号6⑷），心是从*）出发沿牛顿方向〃⑷进行搜索的最优步长。（1）给定初点X（1）GRn,允许误差£〉0,置k二1。（2）计算严=巧（十），若

7、

8、g⑹卜£，则停止计算；否则，转⑶。（3）计算^=-V2f（x（k））~lg^从M出发，沿方向d⑹进行的一维搜索，求心，使/（兀⑷+入d⑷）二min/G⑷+加⑷），*如）=*）+入d⑹，置k二k+1返回步骤⑵。共辄梯度法若d⑴，〃⑵，…,〃

9、⑹是疋屮k个方向，它们两两关于A共辘，即满足泸TAd⑴=O,iHj;i,j=,…，k,称这组方向为A的k个共辘方向。共辘梯度法的基本思想是把共觇性与最速下降法相结合，利用已知点处的梯度构造一组共觇方向，并沿这组方向进行搜索，求岀目标函数的极小点，根据共辘方向的基本性质这种方法具有二次终止性。实现步骤如下:⑴给定初点x｛］）eRn,允许误差£>0；（2）若酚（刊卜£,则停止计算；否则，转⑶；（3）置〃⑴二-中6⑴），k=lo（4）作一维搜索，求入，满足/卅）+2皿⑷）=哦1/岸）+加⑹）；（5）令少）*）+2肿,求g（Z=Vf（兀仙））。⑹若

10、

11、gE）

12、"，则停止计算；否则，转⑺；⑺若k=n

13、,则令兀（】）=兀決）,转⑶;否则，转8）；令〃（如）=-&（如）+0皿⑷，其中仅置k=k+l,转⑷。程序#include#include#include#defineN100doubleF(doublex[],doublep[],doublexi[],doubleba[],intn,doublet){doublef=0;inti;for(i=0;i

14、f],doublexif],doubleba[],intn){doublea二0,b二10,xl,x2,fl,f2,e=0.0001,y;x2=a+0.618*(b-a);f2二F(x,p,xi,ba,n,x2);xl=a+0.382*(b-a);fl=F(x,p,xi,ba,n,xl);while(fabs(b-a)>e)if(fl