专升本资料6(微分方程)

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1、四川省普通高等学校“专升本”选拔《高等数学》考试大纲（理工类）总体要求考牛应理解或了解《高等数学》中函数、极限、连续、一元函数微分学、一元函数积分分学、向量代数与空间解析几何、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程以及《线性代数》的行列式、矩阵、向量、方程组的基本概念与基本理论；掌握上述各部分的基本方法。应注意各部分知识的结构及知识的内在联系；应具备一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力；能运用基本概念、基本理论和基本方法正确地推理证明，准确、简捷地计算；能综合运用所学知识分析并解决简单的实际问题。本大纲对内容的

2、要求由低到高，对概念和理论分为“了解”和“理解”两个层次；对方法和运算分为“会”、“掌握”、“熟练掌握”三人层次。考试用时:120分钟考试范围及要求一函数、极限和连续二一元函数微分学三一元函数积分学四向量代数与空间解析几何五多元函数积分学六无穷级数七常微分方程（2013年:4+8；2013年:3+8）（一）一阶微分方程1.理解微分方程的定义，理解微分方程的阶、解、通解、特解及初始条件。微分方程：凡含有未知函数导数（或微分）的方程。微分方程的阶：微分方程屮出现的未知函数的最高阶导数（或微分）的阶数。微分方程的解：代入微分方程后使其成

3、为恒等式的函数。微分方程的通解：含有任意常数，且其独立的任意常数的个数与方程的阶数相同，这样的解称通解（或一般解）。微分方程的特解：当通解中的各任意常数都取特定值吋所得到的解，称为方程的特解。问题：会由初始条件和通解求特解例1・（成都理工大学2014：理科一选择题3分）5.函数y=eCx^l（C为任意常数）是微分方程+的【】（A）特解（B）通解（C）是解，但既不是通解也不是特解（D）不是解例2・（攀枝花学院2014：理科一选择题3分）4、函数p=（CPC2是任意常数）是方程y/"-y/-2y=0的()・A、特解.C、不是解.B、是

4、解，但不是通解，也不是特解.D、通解.2.掌握可分离变量微分方程的解法。解法步骤：①分离变量:化方程g（y）dy=f（x）t/x（使方程两边都只含有一个变量）②两边积分:③化简：G(y)=F(x)+h(C)注：约定在解微分方程时，积分得是对数时，其真数可以不加绝对值符号。积分常数可以用C函数式子代替。例1求微分方程（l+ex）yyf=ex的通解。例2求微分方程dx+xydy=y2dx+ydy满足初始条件y（0）=3的特解。3.掌握一阶线性微分方程的解法。（1）一阶线性非齐次方程y+P（x）y=2（x）的解y=e^PMdxc+Q

5、^e^x}dxdx（2）一阶线性非齐次方程x+P{y）x=Q{y）的解,y+xx例1求解初值问题y=—-—.丿（1）=3'例2求方程+（兀-2xy-y2）dy=0的通解.例3・（成都理工大学2013：理科一填空题4分）以y=Cx2为通解的微分方程是:妙+丄dxInx满例5・（攀枝花学院2014：理科一解答题6分）6、求微分方程y+=x的通解。例4・（成都理工大学2014：理科一解答题8分）17.求微分方程足初始条件x=e=0的特解;例6・（攀枝花学院2013：理科一解答题7分）八、求微分方程xy+2y=3x2的通解•（共7分）

6、例7.（攀枝花学院:文科解答题5分）求微分方程+y=的通解.（二）二阶线性微分方程1.了解二阶线性微分方程解的结构。（1）线性齐次方程解的叠加原理：若函数戸、儿是线性齐次方程y^py^^y=o的两个解,则函数y=C}y^C2y2也是该方程的解.且当戸与儿线性无关时，y=C]yl+C2y2是该方程的通解.（2）线性非齐次方程解的结构：若函数护为线性非齐次方程y^py^qy=fM的某个特解，丫为对应的齐次线性方程y'+py+qy=0的通解，则y=y^+Y为线性非齐次方程Z通解.2.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法。二阶常系数齐次线

7、性微分方程y〃+py+qy=O的通解的步骤:（1）写岀微分方程的特征方程厂厂+q=0；（2）求出特征根；（3）根据特征根的情况按下表写出所给微分方程的通解.特征方程的解通解形式两个不等实根Y、*y=Cter'x+C2er2X两个相等实根rx=r2=ry=(Cj+C2x)e,x一对共轨复根r=a±ipy=eax(Gcosfix+C2sin#x)例1（攀枝花学院2013：理科一一填空题3分）求方程y〃+5j/-6y=0的通解为例2（攀枝花学院2013：文科一一填空题3分）微分方程/-7/+12y=0的通解1.了解二阶常系数非齐次线性微

8、分方程的解法（自由项限定为fg=PW其中鬥（x）为兀的〃次多项式，。为常数）。二阶常系数线性非齐次方程+py'+qy=Pn（x）eax的步骤：（1）求出对应齐次方程y^pyf+qy=0的通解Y①写出微分方程的特征方程厂2+刃+9=（）；②求出特征根