10.建模作业_水塔供水

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1、《数学建模》课程作业题-10第二章算法模型-水塔供水将水塔供水的两个供水时段、两个用水时段的水流量、用水量程序实现，给出相关数据表。将所有程序和计算结果呈现在此文档中。一、问题提出某居民区有一供居民用水的圆柱形水塔，一般可以通过测量其水位来估计其流量。但面临的困难是，当水塔水位下降到设定的最低水位时，水泵自动启动向水塔供水，到设定的最高水位时停止供水，这段时间无法测量水塔的水位和水泵的供水量。通常水泵每天供水一两次，每次约2h(小时)。水塔是一个高为12.2m,直径为17.4m是正圆柱。按照设计,水塔水位降至约8.2m时,水泵自动启

2、动,水位升到约为10.8m时水泵停止工作。表1是某一天的水位测量记录(符号“//”表示水泵启动)，试估计任何时刻（包括水泵正供水时）从水塔流出的水流量及一天的总用水量。表1：水位测量记录（时刻：h，水位：cm）时刻00.921.842.953.874.985.907.017.938.97水位968948931913898881896852839822时刻9.9810.9210.9512.0312.9513.8814.9815.9016.8317.93水位////108210501021994965941918892时刻19.0419

3、.9620.8422.0122.9623.8824.9925.91水位866843822////105910351011二、问题分析流量是单位时间流出的水的体积，由于水塔是正圆柱体，横截面积是常数，在水泵不工作的时候，流量很容易从水位对时间的变化率算出，问题是如何估计水泵供水时段的流量。水泵供水时段的流量只能依靠供水时段前后的流量拟合得到，作为用于拟合的原始数据，我们希望水泵不工作的时段流量越准越好。这些流量答题可利用表中数据拟合水位-时间函数，求导数即可得到连续时间的流量。水泵不工作时段的用水量可以由测量记录直接得到，由表1克制从

4、水位下降了968-822=146（cm），乘以水塔的截面积就是这一时段的用水量，这个数值可以用来检查拟合的结果。三、模型假设（1）流量只取决于水位差，与水位本身无关。按照Torricelli定律从小孔流出的流体的流速正比于水面高度的平方根，题目给出水塔的最低和最高水位分别是8.2m和10.8m（设出口的水位为0），因为，所以可忽略水位对速度的影响。（2）水泵第一次供水时段为，第二次供水时段为h，这是根据最低和最高水位分别是8.2m和10.8m及表1的水位测量记录做出的假设，其中前3个时刻取自实测数据（精确到0.1h），最后1个时刻来

5、自每次供水约2h的已知条件。（3）水泵工作时单位时间的供水量大致是常数，此常数大于单位时间单位的平均流量。（4）流量是对时间的连续函数。（5）流量与水泵是否工作无关。（6）由于水塔截面积是常数，，为简单起见，计算中将流量定义为单位时间流出的水的高度，即水位对时间变化率的绝对值（水位是下降的），最后给出结果时再乘以S即可，水位是时间的连续函数；水位对时间的变化率（流量）；任何时刻的流量：。四、建立模型（1）拟合水位-时间函数从表1测量记录看，一天有两个供水时段（以下称第一供水时段和第二供水时段）和三个水泵不工作时段（以下称第一用水时段

6、，第二用水时段和第三用水时段以后）。对第一、第二用水时段的测量数据分别做多项式拟合，得到水位函数和。为使拟合曲线比较光滑，多项式次数不要太高，一般用3-6次.由于第三时段只有三个测量记录，无法对这一时段的水位做出比较好的拟合，可采取外推的办法解决。（2）确定函数-时间函数对于第一、第二用水时段，秩序将水位函数求导即可，对于两个供水时段的流量，则用供水时段前后（水泵不工作时段）的流量拟合得到，并且将拟合得到的额第二供水时段外推，将第三用水时段流量包含在第二供水时段内，需要拟合四个流量函数。（3）一天总用水量总用水量等于两个水泵不工作时

7、段的和两个供水时段用水量之和，他们都可以由流量对时间的积分得到。五、模型求解用MATLAB计算，可得结果。（1）拟合[0,9]内各时刻的流量值，见表2。表2：在[0,9]内各时刻的流量值（水位变化率）00.921.842.953.874.985.907.017.938.9722.1119.8117.9116.1415.1214.4214.2814.6415.3816.69（2）拟合[11,20.8]内各时刻的流量值，见表3。表3：在[11,20.8]内各时刻的流量值（水位变化率）10.9512.0312.9513.8814.9815

8、.9016.8317.9319.0419.9620.8433.0230.7529.0727.6026.1725.2324.5223.9823.7723.8624.16（3）拟合第一供水时段[9,11]的流量，见表4。表4：在[9,11