微积分模型-水塔供水

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1、微积分模型微积分模型微积分模型微积分模型水塔流量的估计水塔流量的估计水塔流量的估计水塔流量的估计轮船搁浅问题轮船搁浅问题轮船搁浅问题轮船搁浅问题本本讲讲内内容容一、问题的提出一、问题的提出二、问题的分析二、问题的分析三、模型假设三、模型假设四、估计流量四、估计流量五、算法设计与编程五、算法设计与编程六、计算结果六、计算结果七、分析与改进七、分析与改进问题一水塔流量的估计水塔流量的估计一、问题的提出某居民区有一供居民用水的圆柱形水塔，一般可以通过测量其水位来估计其流量。但面临的困难是，当水塔水位下降到设定的最低水位时，水泵自动启动向水塔供水，到设定的最高水位时停止供水，这段时间无法测量水塔的水位

2、和水泵的供水量。通常水泵每天供水一两次，每次约2h(小时)。17.4m水塔是一个高为12.2m,直径为17.4m是正圆柱。按照设计,水塔水位降至约8.2m时,水12.2m10.8m泵自动启动,水位升到约为8.2m10.8m时水泵停止工作。表1是某一天的水位测量记录(符号“//”表示水泵启动)，试估计任何时刻（包括水泵正供水时）从水塔流出的水流量及一天的总用水量。表1:水位测量记录（时刻：h，水位：cm）时刻00.921.842.953.874.985.907.017.938.97水位968948931913898881896852839822时刻9.9810.9210.9512.0312.95

3、13.8814.9815.9016.8317.93水位////108210501021994965941918892时刻19.0419.9620.8422.0122.9623.8824.9925.91水位866843822////105910351011二、问题的分析流量是单位时间流出的水的体积，由于水塔是正圆柱形，横截面积是常数，在水泵不工作的时段，流量很容易从水位对时间的变化率算出，问题是如何估计水泵供水时段的流量。水泵供水时段的流量只能靠供水时段前后的流量拟合得到，作为用于拟合的原始数据，我们希望水泵不工作的时段流量越准确越好。这些流量大体可由两种方法计算:一是直接对表1中的水位用数值微

4、分算出各时段的流量，用它们拟合其它时刻或连续时间的流量。二是先用表中数据拟合水位~时间函数，求导数即可得到连续时间的流量。一般说来数值微分的精度不高，何况测量记录还是不等距的，数值微分的计算尤其麻烦。下面我们用第二种方法处理。有了任何时刻的流量，就不难计算一天的总用水量。其实，水泵不工作时段的用水量可以由测量记录直接得到，如表1可知从t=0到t=8.97(h)水位下降了968–822=146(cm)，乘以水塔的截面积就是这一时段的用水量。这个数值可以用来检查拟合的结果。三、模型假设1.流量只取决于水位差，与水位本身无关。按照Torricelli(托里切利,1608-1647,意大利数学家、物理

5、学家、气压计原理发现者)定律从小孔流出的流体的流速正比于水面高度的平方根，题目给出水塔的最低和最高水位分别是8.2m和10.8m(设出口的水位为零),因为10.8/8.2=1.15≈1所以可忽略水位对速度的影响。2.水泵第1次供水时段为t=9到t=11(h),第2次供水时段为t=20.8到t=23(h)。这是根据最低和最高水位分别是8.2m和10.8m及表1的水位测量记录作出的假设。其中前3个时刻取自实测数据（精确到0.1h）,最后1个时刻来自每次供水约两小时的已知条件（从记录看，每2次供水时段应在有记录的22.96h之后不久结束）。时刻00.921.842.953.874.985.907.0

6、17.938.97水位968948931913898881896852839822时刻9.9810.9210.9512.0312.9513.8814.9815.9016.8317.93水位////108210501021994965941918892时刻19.0419.9620.8422.0122.9623.8824.9925.91水位866843822////1059103510113.水泵工作时单位时间的供水量大致是常数，此常数大于单位时间的平均流量。4.流量是对时间的连续函数。5.流量与水泵是否工作无关。6.由于水塔截面积是常数,S=(17.4/2)2π=237.8m2,为简单起见，计算

7、中将流量定义为单位时间流出的水的高度，即水位对时间变化率的绝对值（水位是下降的），最后给出结果时再乘以S即可。即：水位是时间的连续函数h=h(t)dh(t)水位对时间的变化率(流量)h′=dt任何时刻的流量：v(t)=-h’(t)S四、估计流量1.拟合水位~时间函数从表1测量记录看，一天有两个供水时段（以下称第1供水时段和第2供水时段）和3个水泵不工作时段(以下称第1用水时段t=0到t=8.97，