第十章 第1讲 合情推理和演绎推理

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1、第十章推理与证明第1讲合情推理和演绎推理考纲要求考纲研读合情推理与演绎推理1．了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用．2．了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．3．了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.在数学中，由于所有命题的正确性都是用演绎推理来证明的，所以从形式上看，主要考查类比推理和归纳推理．合情推理需根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后再提出猜想．在进行类比推理时，要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑.1．

2、合情推理归纳推理类比推理(1)定义：根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理叫做合情推理．(2)合情推理可分为__________和__________两类：①归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理．简言之，归纳推理是由_____到_____、由_____到______的推理；部分整体个别一般②类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理．简言之，类比推理

3、是由特殊到特殊的推理．2．演绎推理定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理叫做演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理，“三段论”是演绎推理的一般模式，它包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．1．在△ABC中，若BC⊥AC，AC＝b，BC＝a，则△ABC的外接圆半径r＝，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体S－ABC中，若SA，SB，SC两两垂直，SA＝a，SB＝b，SC＝c，则四面体S－ABC的外接球半径R＝__________

4、.2．已知正三角形内切圆的半径是高的—，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是________________________________.1314正四面体的内切球的半径是高的3．在平面直角坐标系中，直线一般方程为Ax＋By＋C＝0，圆心在(x0，y0)的圆的一般方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2；则类似地，在空间直角坐标系中，平面的一般方程为_________________，球心在(x0，y0，z0)的球的一般方程为____________________________.Ax＋By＋Cz＋D＝0(x－x0)2＋(

5、y－y0)2＋(z－z0)2＝r2等差数列等比数列an＝a1＋(n－1)dbn＝b1qn－1an＝am＋(n－m)dbn＝_________则数列{cn}为等差数列若dn＝____________，则数列{dn}为等比数列bmqn－m4．类比是一个伟大的引路人．我们知道，等差数列和等比数列有许多相似的性质，请阅读下表并根据等差数列的结论，类似的得出等比数列的两个结论：5.(2010年广东广州海珠区测试)如图10－1－1，在平面上，用一条直线截正方形的一个角，则截下一个直角三角形按图10－1－1所标边长，由勾股定理得c2＝a2＋b2.设

6、想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O－ABC，若用s1，s2，s3表示三个侧面面积，s4表示截面面积，你类比得到的结论是_______________.图10－1－1例1：①(2011年山东)设函数f(x)＝考点1归纳推理xx＋2，观察：f1(x)＝f(x)＝xx＋2，f2(x)＝f[f1(x)]＝x3x＋4，f3(x)＝f[f2(x)]＝x7x＋8，f4(x)＝f[f3(x)]＝x15x＋16，…根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N*且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝_

7、_____________.②(2011年陕西)观察下列等式1＝1.2＋3＋4＝9.3＋4＋5＋6＋7＝25.4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49.照此规律，第五个等式应为_____________________．解析：把已知等式与行数对应起来，则每一个等式的左边的式子的第一个数是行数n，加数的个数是2n－1；等式右边都是完全平方数，行数等号左边的项数111＝12＋3＋4＝923353＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝4947则第5行等号的左边有9项，右边是9的平方，所以5＋6＋…＋[5＋(2×5－1)－1]＝92.

8、即5＋6＋…＋13＝81.答案：5＋6＋…＋13＝81归纳推理的一般步骤：①通过对某些个体的观察、分析和比较，发现它们的相同性质或变化规律；②从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题．如以上两题归纳总结时，看等号左