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1、第二章内积空间（1）（2）（3）（4），当且仅当时等号成立。第一节欧氏空间与酉空间定义1设是实数域上的线性空间，如果对于中的任意两个向量都有一实数与之对应，记为且满足下列条件（）：定义了内积的实线性空间称为欧氏空间（实内积空间）例3在全体n阶实方阵所构成的线性空间中，对任意两个n阶矩阵A、B，规定其内积为容易验证它满足定义的四个条件，因此,对于所定义的内积构成一个欧氏空间。度量矩阵的性质显然有。设是n维欧氏空间V的一个基，是V中的任意两个向量。下面考察它们的内积：如果令，则由内积于是利用矩阵的乘法，上式还可以表示为其中分别是关于基的坐标，称G为
2、基的度量矩阵。酉空间定义2定义:第二节内积空间的度量定理1称为与的距离。(Cauchy-Schwarz不等式)证明(3)①,结论成立；②，对任意实数x，均有即(4)定义2定义3在欧氏空间中也有勾股定理，若一个不含零向量的向量组中的向量两两正交:,则称该向量组为正交向量组.又如果这些向量都是单位向量:,则称该向量组为标准正交向量组.若该向量组是一个内积空间V的基,又分别称为内积空间V的正交基和标准正交基.例如:是向量空间R3的一个标准正交基(通常称为自然基).再如:是下面向量空间V的一个标准正交基.在欧氏空间中，一组基为标准正交基的充分必要条件是
3、它的度量矩阵为单位矩阵。此时，定理2在标准正交基下，任一向量均可以表示成并且同样有。作向量与向量的内积，有证明设向量在基下的坐标为，即。证设是正交向量组正交非零向量组必线性无关.定理3施密特正交化过程设是向量空间V的一个基,如何在向量空间V中建立(标准)正交基?找与等价的正交向量组把两个线性无关的向量化为两个标准正交的向量：因要求，故设线性无关，令则又，故。从上式解得已知线性无关，故。于是是正交向量组。令，则是标准正交向量组。此外，(3)求3=31122,使=(3,1)1(1,1)+2(2,1)0=(3,1
4、)=(31122,1)=(3,2)1(1,2)2(2,2)0=(3,2)=(31122,2)得设线性无关令则两两正交,且与等价.是与等价的标准正交组施密特正交化过程求的一个标准正交基,并求向量解易知线性无关,由施密特正交化过程在该标准正交基下的坐标.例1再单位化当建立规范正交基(相当于标准直角坐标系)后,求一个向量的坐标就特别方便:两边分别与内积第三节正交变换设和是n维欧氏空间的两组标准正交基，它们之间的过渡矩阵是即所以因此，在欧氏空间中，由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵。矩阵
5、A的各列就是关于标准正交基的坐标，即酉矩阵、正交矩阵酉矩阵.定理1A是酉矩阵(正交矩阵)A的列组是Cn(Rn)标准正交组A的行组是Cn(Rn)标准正交组定理2设A是欧氏空间的一个线性变换，则下面几个命题等价：(1)T是正交变换；(2)T保持向量的长度不变，即对于任意的V,
6、
7、T
8、
9、=
10、
11、
12、
13、;(3)如果1,2,…,m是V的标准正交基,则T1,T2,…,Tm也是V的标准正交基；(4)T在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵.定义1欧氏空间V的线性变换T称为正交变换，若对任意,V,均有(T,T)=(,)例1在里,把每
14、一向量逆时针旋转一个角的的一个正交变换.线性变换是例2对于每一向量,令关于x0y面的镜面反射与它对应是的一个正交变换.第四节正交投影与最小二乘问题定义1：是欧氏空间V中的两个子空间，如果对恒有则称子空间为正交的,记作对给定向量定义2：则称向量 与子空间正交，记作两两正交的子空间的和必是直和．定义3：设W是欧氏空间V的子空间，记定理1设W是欧氏空间V的一个有限维子空间，那么因而V的每一个向量ξ可以唯一写成这里设令证明当W={0}时，定理显然成立，这时设由于W的维数有限，因而可以取到W的一个规范正交基那么而由于是W的基，所以ζ与W正交，这就证明
15、了即剩下来只要证明这个和是直和。这是显然的，那么从而定理被证明。因为如果定义4：设W是欧氏空间V的有限维非平凡子空间，为V到W的正交投影变换。可以证明，正交投影变换是线性变换。证明由于所以定理2设W是欧氏空间V的一个有限维子空间，是V的任意向量，是在W上的正交投影，那么对于W中任意向量，都有由勾股定理所生成的子空间.例考虑上一切连续实函数所作成的欧氏空间令W是由以下2n+1个函数1,cosx,sinx,…,cosnx,sinnx是W的一个规范正交基.W的每一元素都可以写成的形式.叫做一个n次三角多项式.设我们求一个n次三角多项式使得的值最小.用
16、欧氏空间的语言来说就是：求使得这正是上面所说的W对于f(x)的最佳逼近问题.最小.因此,所求的应该是f(x)在W上的正交投影.即比较从而k=1,2,…
