泛函分析在数值分析中的应用教程

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1、泛函分析在数值分析中的应用刘肖廷工程力学160410040007一、数学概述数学是一门从集合概念角度去研究物质世界数量关系与空间形式的基础的自然学科。它从应用的角度可以分为基础数学与应用数学两大范畴，而基础数学又可以划分为纯数学和基础应用数学两大范畴。其中，纯数学是建立在基础应用数学基础上进行的单纯的数学研究。可见基础应用数学是数学学科的基础。基础应用数学以代数学，几何学，分析学与拓扑学为基础研究物质世界的数学关系与空间形式。分而言之，代数学主要是从集合概念角度去研究物质世界的数量关系；几何学主要是从集合概念的角度去研究物质世界的空间形式

2、；分析学则主要研究集合间的映射关系及其运算；而拓扑学则包含点集拓扑，代数拓扑，微分拓扑，辛拓普等几个分支，融合与代数学与几何学之中。应用数学则是以基础数学的基本方法（代数，几何，分析）为基础，去探讨物质世界不同类型的数量关系与空间形式的。它主要包括三角学，概率论，数理统计，随机过程，积分变换，运筹学，微分方程，积分方程，模糊数学，数值分析，数值代数，矩阵论，测度论，李群与李代数等领域。当然，我们同样不能忽视应用数学对基础数学在理论上的支持与贡献。由此可见，集合概念是数学的核心概念，代数、几何与分析是是数学的三大基本方法，代数学、几何学、分

3、析学与拓扑学是支撑数学大厦的四根最紧要的支柱，此四者同时又是相互联系，不可分割的。这一点印证了一句名言，数学的魅力正在于其中各个分支之间的相互联系。泛函分析的基本内容和基本特征（一）度量空间和赋范线性空间1、度量空间是现代数学中一种基本的、重要的、最接近于欧几里得空间的抽象空间。19世纪末，德国数学家G.康托尔创立了集合论，为各种抽象空间的建立奠定了基础。20世纪初期，法国数学家M.R.弗雷歇发现许多分析学的成果从更抽象的观点看来，都涉及函数间的距离关系，从而抽象出度盘空间的概念。定义：设x为一个集合，一个映射。若对于任何x，y，z属于x

4、，有(1)(正定性)，且。当且仅当；(2)(对称性)；(3)(三角不等式)，则称d为集合x的一个度量(或距离)。称偶对(X,d)为一个度量空间，或者称x为一个对于度量d而言的度量空间。度量空间中最为我们所熟知的是三维欧氏空间，这个空间中的度量定义为连接该两点线段的长度。2、泛函分析所要研究的主要是实数域或复数域上完备的赋范线性空间。这类空间称为巴拿赫空间，巴拿赫空间中最重要的特例称为希尔伯特空间。希尔伯特空间可以利用以下结论来完全分类，即对于任意两个希尔伯特空间，若其基的基数相等，则它们必彼此同构。对于有限维希尔伯特空间而言，其上的连续线

5、性算子即是线性代数中所研究的线性变换。对于无穷维希尔伯特空间而言，其上的任何态射均可以分解为可数维度(基的基数为50)上的态射，所以泛函分析主要研究可数维度上的希尔伯特空间及其态射。希尔伯特空间中个尚未完全解决的问题是，是否对于每个希尔伯特空间上的算子，都存在一个真不变子空间。该问题在某些特定情况下的答案是肯定的。3、巴拿赫空间理论（Banachspace)是1920年由波兰数学家巴拿赫(S.Banach)一手创立的，数学分析中常用的许多空间都是巴拿赫空间及其推广，它们在许多重要的应用。大多数巴拿赫空间是无穷维空间，可看成通常向量空间的无

6、穷维推广，即有。巴拿赫空间（Banachspace)是一种赋有"长度"的线性空间，是泛函分析的基本研究对象之一。数学各个分支的发展为巴拿赫空间理论的完善提供了丰富且生动的素材。从外尔斯特拉斯，K.(T.W.)以来，人们就己十分关心闭区间[a，b]上的连续函数以及它们的一致收敛性。甚至在19世纪末，G.阿斯科利就得到[a,b]上一族连续函数之列紧性的判断准则，后十分成功地应用于常微分方程和复变函数论中。(二)线性算子出现在各个数学领域中具有线性性质的运算(例如线性代数中的线性变换，微分方程论、积分方程论中大量出现的微分、积分运算、积分变换等

7、)的抽象概括。它是线性泛函分析研究的重要对象。关于线性算子的理论不仅在数学的许多分支中有很好的应用，同时也是盘子物理的数学基础之。中国物理学界习惯上把算子称为算符。设X,Y是两个实数域或复数域上的线性空间，T是X到Y的映射。T的定义域和值域分别记为D（T），R（T）。如果对任何数α,β和x1，x2∈D(T)，满足αx1+βx2∈D(T)，并且T（αx1+βx2）=αTx1+βTx2,则称T是以D(T)为定义域的X到Y的线性算子。特别当D(T)=X，Y是实数域或复数域时，则称T是X上的线性泛函。设T1,T2是x到y的线性算子，它们的定义域分

8、别是D(T1),D(T2)。对任一数α,规定αT1表示以D(T1)为定义域，而对任何x∈D(T1)，有αT1X=α(T1X)的算子。规定T1+T2表示以D(T1)∩D(T2)为定义域，而对任何