旋度散度梯度幻灯片

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1、§1.1矢量表示法和运算§1.2通量与散度,散度定理§1.3环量与旋度,斯托克斯定理§1.4方向导数与梯度,格林定理§1.5曲面坐标系§1.6亥姆霍兹定理第一章矢量分析Chapter1VectorAnalysis基本要求掌握矢量在正交坐标系中的表示方法掌握矢量的代数运算及其在坐标系中的物理意义掌握矢量积、标量积的计算了解矢量场散度的定义，掌握其计算方法和物理意义；掌握散度定理的内容，并能熟练运用。了解矢量场旋度的定义，掌握其计算方法和物理意义；掌握斯托克斯公式的内容，并能数量应用。了解标量场的梯度的定义，掌握其计算方法和物理意义

2、正确理解标量格林定理和矢量格林定理的内容，并学会应用了解曲面坐标系中矢量的表示方法、三种坐标系的转换了解曲面坐标系中散度、旋度的表示线元、面积元、体积元的表示正确理解亥姆霍兹定理的内容，并能正确应用。物理量的表示矢量：大写黑体斜体字母A大写斜体字母加表示矢量的符号标量：小写斜体字母u单位矢量：小写上加倒勾ex若一个矢量在三个相互垂直的坐标轴上的分量已知,这个矢量就确定了。例如在直角坐标系中,矢量A的三个分量模值分别是Ax,Ay,Az,则矢量的模Magnitudeofvector§1.1矢量表示法及其运算1.1.1矢量表示法及其和

3、差A的单位矢量Unitvector和或差:Vectoradditionorsubtraction则图1-2矢量的相加和相减矢量的相乘有两种定义:标量积(点乘)和矢量积(叉乘)。它符合交换律:1.1.2标量积和矢量积定义：标量积A·B是一标量,其大小等于两个矢量模值相乘,再乘以它们夹角αAB(取小角,即αAB≤π)的余弦:一、标量积Dotproduction特点：1、

4、B

5、cosAB是矢量B在矢量A上的投影，

6、A

7、cosAB是矢量A在矢量B上的投影。B矢量在A矢量上的投影（或者说矢量B在A上的分量）等于A•B/

8、A

9、2、并有互

10、相垂直的两个矢量的点积为03、4、定义：矢量积A×B是一个矢量,其大小等于两个矢量的模值相乘,再乘以它们夹角αAB(≤π)的正弦,其方向与A,B成右手螺旋关系,为A,B所在平面的右手法向:1、它不符合交换律。由定义知,二、矢量积Crossproduction特点：2、A×B各分量的下标次序具有规律性。例如,分量第一项是y→z,其第二项下标则次序对调:z→y,依次类推。并有图1-3矢量乘积的说明矢量的三连乘也有两种。标量三重积:Scalartripleproduction矢量三重积:Vectortripleproduction公式

11、右边为“BAC-CAB”,故称为“Back-Cab”法则,以便记忆。1.1.3三重积ABC解：AB在C上的分量为：例：，求给定两矢量和上的分量。在如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未知矢量。设A为一已知矢量，，p和P已知，试求X解：由P=AX，有AP＝A(AX)=(A·X)A-(A·A)X=pA-(A·A)X例作业P311-11-3§1.2通量与散度,散度定理Flux,divergenceofavectorfield,divergencetheorem§1.2.1矢量场的通量矢量场的空间变

12、化规律通常用散度和旋度描述矢量场的通量定义：若矢量场A分布于空间中，在空间中存在任意曲面S，则为矢量A沿有向曲面S的通量。若S为闭合曲面物理意义：表示穿入和穿出闭合面S的矢量通量的代数和。在电场中，电位移矢量在某一曲面上的面积分就是矢量通过该曲面的电通量；在磁场中，磁感应强度在某一曲面上的面积分就是矢量通过该曲面的磁通量。通过闭合面S的通量的物理意义：在直角坐标系中，通量可以写成a)若，穿出闭合曲面的通量多于穿入的通量，闭合面内有产生矢量线的正源；例如，静电场中的正电荷就是发出电力线的正源；b)若，穿出闭合曲面的通量少于穿入的通

13、量，闭合面内有吸收矢量线的负源；静电场中的负电荷就是接受电力线的负源；c)若，闭合面无源。1.2.2散度Divergenceofavectorfield2、散度的物理意义1)矢量场的散度代表矢量场的通量源的分布特性；2)矢量场的散度是一个标量；3)矢量场的散度是空间坐标的函数；1、定义：当闭合面S向某点无限收缩时，矢量A通过该闭合面S的通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场A在该点的散度，以divA表示，即3、直角坐标系中散度的表示散度可用算符哈密顿表示为哈密顿拉普拉斯2正源负源无源散度的基本运算公式C为常矢量k为常

14、数u为标量上式称为散度定理,也称为高斯公式。1.2.3散度定理Thedivergencetheorem既然矢量的散度代表的是其通量的体密度,因此直观地可知,矢量场散度的体积分等于该矢量穿过包围该体积的封闭面的总通量,即从数学角度可以认为高斯定理建立了面积分和体积