ch3 离散系统的时域分析--待改

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1、差分与差分方程差分方程的经典解零输入响应和零状态响应§3.1LTI离散系统的响应第三章离散系统的时域分析注意离散系统与连续系统分析方法上的联系、区别、对比，与连续系统有并行的相似性。一、差分与差分方程设有序列f(k)，则…，f(k+2)，f(k+1)，…，f(k-1)，f(k-2)…等称为f(k)的移位序列。仿照微分运算，定义离散信号的差分运算。1.差分运算离散信号的变化率有两种表示形式：定义差分（1）一阶前向差分定义：f(k)=f(k+1)–f(k)（2）一阶后向差分定义：f(k)=f(k)–f(k–1)式中，和称为差分算子，无原则区别。本书主要用后向差分，简称为差分。（3）差分

2、的线性性质：[af1(k)+bf2(k)]=af1(k)+bf2(k)（4）二阶差分定义：2f(k)=[f(k)]=[f(k)–f(k-1)]=f(k)–f(k-1)=f(k)–f(k-1)–[f(k-1)–f(k-2)]=f(k)–2f(k-1)+f(k-2)（5）m阶差分:mf(k)=f(k)+b1f(k-1)+…+bmf(k-m)2.差分方程包含未知序列y(k)及其各阶差分的方程式称为差分方程。将差分展开为移位序列，得一般形式y(k)+an-1y(k-1)+…+a0y(k-n)=bmf(k)+…+b0f(k-m)差分方程本质上是递推的代数方程，若已知初始条件和激励

3、，利用迭代法可求得其数值解。例一般不易得到解析形式的(闭合)解。差分方程的迭代解法差分方程迭代解举例例：若描述某系统的差分方程为y(k)+3y(k–1)+2y(k–2)=f(k)已知初始条件y(0)=0,y(1)=2,激励f(k)=2kε(k),求y(k)。解：y(k)=–3y(k–1)–2y(k–2)+f(k)k=2y(2)=–3y(1)–2y(0)+f(2)=–2k=3y(3)=–3y(2)–2y(1)+f(3)=10k=4y(4)=–3y(3)–2y(2)+f(4)=–10……二、差分方程的经典解1.齐次解：与微分方程经典解类似，y(k)=yh(k)+yp(k)y(k)+an-1y(

4、k-1)+…+a0y(k-n)=bmf(k)+…+b0f(k-m)齐次方程y(k)+an-1y(k-1)+…+a0y(k-n)=0特征方程1+an-1λ–1+…+a0λ–n=0，即λn+an-1λn–1+…+a0=0其根λi(i=1，2，…，n)称为差分方程的特征根。根据特征根，齐次解的两种情况2.有重根特征根λ为r重根时例例差分方程齐次解单根例求解二阶差分方程y(k)–5y(k–1)+6y(k–2)=0已知y(0)=2，y(1)=1，求y(k)。解：特征方程齐次解定C1，C2解出特征根差分方程齐次解重根例求差分方程y(k)+6y(k–1)+12y(k–2)+8y(k–3)=0的解。解：特

5、征方程齐次解由初始条件定C1，C2，C3三重特征根2.特解yp(k):激励f(k)响应y(k)的特解yp(k)特解的形式与激励的形式类似例差分方程全解举例例：系统方程y(k)+4y(k–1)+4y(k–2)=f(k)已知初始条件y(0)=0，y(1)=–1；激励f(k)=2k，k≥0。求方程的全解。解：特征方程为λ2+4λ+4=0可解得特征根λ1=λ2=–2，其齐次解yh(k)=(C1k+C2)(–2)k特解为yp(k)=P(2)k,k≥0代入差分方程得P(2)k+4P(2)k–1+4P(2)k–2=f(k)=2k，解得P=1/4所以得特解：yp(k)=2k–2,k≥0故全解为y(k)=y

6、h+yp=(C1k+C2)(–2)k+2k–2,k≥0代入初始条件解得C1=1,C2=–1/4三、零输入响应和零状态响应1.零输入响应：输入为零，差分方程为齐次C由初始状态定（相当于0-的条件）齐次解形式：2.零状态响应：初始状态为0，即求解方法经典法：齐次解+特解卷积法y(k)=yzi(k)+yzs(k)例1例2零输入零状态举例例：系统方程为y(k)+3y(k–1)+2y(k–2)=f(k)已知激励f(k)=2k,k≥0，初始状态y(–1)=0,y(–2)=1/2,求系统的零输入响应、零状态响应和全响应。解：（1）yzi(k)满足方程yzi(k)+3yzi(k–1)+2yzi(k–2)=

7、0yzi(–1)=y(–1)=0,yzi(–2)=y(–2)=1/2首先递推求出初始值yzi(0),yzi(1),yzi(k)=–3yzi(k–1)–2yzi(k–2)yzi(0)=–3yzi(–1)–2yzi(–2)=–1yzi(1)=–3yzi(0)–2yzi(–1)=3特征根为λ1=–1，λ2=–2解为yzi(k)=Czi1(–1)k+Czi2(–2)k将初始值代入并解得Czi1=1,Czi2=–2yzi(k)=(