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1、28数学通讯 2001年第6期辩证地处理解题中的几个关系童其林(福建省永定县城关中学,福建364100)中图分类号:O12-42 文献标识码:A 文章编号:0488-7395(2001)06-0028-02 在数学解题中,为了寻求解题途径,提高解题速的角度,从不同的侧面去审视,往往能开辟解决问题度,应辩证地处理好如下几个关系.的新天地.21 直路与弯路的关系例3 求cosx+sinx+a=0有解时,a的取值为了进攻而防御,为了前进而后退,为了走直路范围.而走弯路,这是许多事物在发展过程中的常见现象,分析:解答本题的一种思路是令si
2、nx=t,把原2解数学题有时也需这样.方程化为t-t-(a+1)=0,t∈[-1,1],转化为cosxcos3x关于t的二次方程在[-1,1]内有解时,求a的取值例1 已知=(cosx≠0,cos3x≠0),ab范围;或转化为函数f(t)=t2-t-(a+1)与t轴a-b2求证:=tgx.在[-1,1]上有交点时,求a的取值范围.按上述两3a+b种思路做下去,运算量都比较大.其实,若把原方程分析:引入参数,以退为进.2125cosxcos3x1改写为a=-cosx-sinx=(sinx-)-,则问证 设==,则a=kcosx,b=24abk125kcos3x.题可转化
3、为求函数f(x)=(x-)-,当x∈24a-bkcosx-kcos3x2sin2xsinx53a+b=3kcosx+kcos3x=4cos3x=[-1,1]时的值域,易得a∈[-,1].422sinxcosx2例4 对任意a∈[-1,1],函数f(x)=x+(a3=tgx.cosx-4)x+4-2a的值总大于零,求x的取值范围.2 正面与反面的关系分析:此题直接下手去求x的范围是较困难有些数学问题,从正面求解非常繁难,若从问题的,但若把原函数看作是关于a的函数,即令g(a)的反面考虑,往往能化繁为简,化难为易,收到事半=(x-2)a+x2-4x+4,那末问题就可转化为
4、当自功倍的效果.变量a∈[-1,1]时,总有g(a)>0,求x的范围.因22例2 二次函数f(x)=4x-2(p-2)x-2p此,只需令g(-1)>0且g(1)>0,解得x<1或x-p+1在x∈[-1,1]内至少存在一个x0,使得>3.f(x0)>0,求实数p的取值范围.4 整体与局部的关系分析:此题的第一感觉是条件不易使用!反面每个题目都是一个全局,进行每步运算都要有明呢?显然是一种肯定的结果,即“对任意x∈[-1,确的目的,对于中间结果有时可不必求出具体数值.1],f(x)≤0恒成立”.又∵抛物线f(x)的开口向例5 如图1,三棱锥S2上,因此,只需令f(-1)≤
5、0且f(1)≤0,解得p∈ABC的三条侧棱两两垂直,3且SA=5,SB=4,SC=3,(-∞,-3]∪[,+∞).由补集原理知所求p的2D为AB的中点,E为AC3取值范围是(-3,).的中点,求四棱锥S2BCED2的体积.3 正面与侧面的关系分析:若眼睛只盯住所在多数情况下,问题都是从正面入手加以解决图1 例5图求四棱锥的底面积和高,则的.但有时从正面处理反而较困难,如能改变看问题收稿日期:2000-09-01作者简介:童其林(1963—),男,福建永定人,福建永定县城关中学一级教师.2001年第6期 数学通讯29运算量过大.先考虑整个三棱锥S
6、2ABC的体积,再如图2,易知f(x)=
7、PA
8、+
9、PB
10、≥
11、AB
12、,当考虑所求四棱锥的体积,可简化运算.且仅当P在线段AB上时取等号(此时,P为线段∵三棱锥S2ABC的三条侧棱两两垂直,AB与x轴的交点).故f(x)的最小值为
13、AB
14、=5.111由两点式知,直线AB的方程为3x-4y+1=∴VS2ABC=S△SBC·SA=··SB·SC·3321110,令y=0,得x=-3.SA=··4·3·5=10.321113故当x=-3时,f(x)有最小值,最小值为5.∴VS2BCED=SBCED·h=·S△ABC·h=334说明 本题也可构造复数,在复平面上来考虑3315V
15、S2ABC=·10=.(应用关于复数模的不等式).4427 变与不变的关系5 特殊与一般的关系变是永恒的,不变是暂时的、相对的.充分利用事物的普遍性存在于特殊性之中,共性寓于个变与不变(运动与静止)的关系也是寻求解题途径、性之中.恰当运用特殊与一般的关系,是解决问题的优化解题过程的方法之一.常用手段之一.1002例8 求顶点为A(6,例6 若(5-2x)=a0+a1x+a2x+⋯+10026),B(-4,3),C(-1,7),a100x,则(a0+a2+a4+⋯+a100)-(a1+a3+D(9,-4)的正方形在第一2a5+⋯+a99)=.象限的面积
