知识讲解_平面向量全章复习巩固_提高

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1、《平面向量》全章复习与巩固编稿：孙永钊　　　　　审稿：王静伟　　　　【学习目标】1.平面向量的实际背景及基本概念通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示；2.向量的线性运算（1）通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义；（2）通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义；（3）了解向量的线性运算性质及其几何意义.3.平面向量的基本定理及坐标表示（1）了解平面向量的基本定理及其意义；（2）掌握平面向量的正交分解及其

2、坐标表示；（3）会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算；（4）理解用坐标表示的平面向量共线的条件.4.平面向量的数量积（1）通过物理中"功"等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义；（2）体会平面向量的数量积与向量投影的关系；（3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.向量的应用经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展

3、运算能力和解决实际问题的能力.【知识网络】【要点梳理】要点一：向量的有关概念1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量的模(也就是用来表示向量的有向线段的长度).2.向量的表示方法：(1)字母表示法：如等.(2)几何表示法：用一条有向线段表示向量.如，等.(3)坐标表示法：在平面直角坐标系中，设向量的起点为在坐标原点，终点A坐标为，则称为的坐标，记为=.3.相等向量：长度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移，平移前后的向量相等.两向量与相等，记为.4.零向量：长度为零的向量叫零向量.

4、零向量只有一个，其方向是任意的.5.单位向量：长度等于1个单位的向量.单位向量有无数个，每一个方向都有一个单位向量.6.共线向量：方向相同或相反的非零向量，叫共线向量.任一组共线向量都可以移到同一直线上.规定：与任一向量共线.注：共线向量又称为平行向量.7.相反向量：长度相等且方向相反的向量.要点二、向量的运算1.运算定义运算图形语言符号语言坐标语言加法与减法+==记=(x1，y1)，=(x2，y2)则=(x1+x2，y1+y2)=(x2-x1，y2-y1)+=实数与向量的乘积记=(x，y)则两个向

5、量的数量积记则=x1x2+y1y22.运算律加法：①(交换律)；②(结合律)实数与向量的乘积：①；②；③两个向量的数量积：①·=·；②()·=·()=(·)；③(+)·=·+·3.运算性质及重要结论(1)平面向量基本定理：如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量，有且只有一对实数，使，称为的线性组合.①其中叫做表示这一平面内所有向量的基底；②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的.③当基底是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标

6、系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础.向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，即若A(x，y)，则=(x，y)；当向量起点不在原点时，向量坐标为终点坐标减去起点坐标，即若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则=(x2-x1，y2-y1)(2)两个向量平行的充要条件符号语言：坐标语言为：设非零向量，则∥(x1，y1)=(x2，y2)，或x1y2-x2y1=0.(3)两个向量垂直的充要条件符号语言：坐标语言：设非零向量，则(4)两个向量数量积的重要性质：①即

7、(求线段的长度)；②(垂直的判断)；③(求角度).要点诠释：1.向量的线性运算(1)在正确掌握向量加法减法运算法则的基础上能结合图形进行向量的计算，将数和形有机结合，并能利用向量运算完成简单的几何证明；(2)向量的加法表示两个向量可以合成，利用它可以解决有关平面几何中的问题，减法的三角形法则应记住：连接两端(两向量的终点)，指向被减(箭头指向被减数).记清法则是灵活运用的前提.2.共线向量与三点共线问题向量共线的充要条件实质上是由实数与向量的积得到的.通常用来判断三点在同一条直线上或两直线平行.该定

8、理主要用于证明点共线、求系数、证直线平行等题型问题.(1)用向量证明几何问题的一般思路：先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来证明.(2)向量在几何中的应用：①证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的充要条件(x1，y1)=(x2，y2)②证明垂直问题，常用垂直的充要条件③求夹角问题，利用④求线段的长度，可以利用或【典型例题】类型一：平面向量的概念例1.给出下列命题：①若

9、

10、=

11、

12、，则=；②若A，B，C，D