反例及反证法在线性代数中的作用

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1、解题技巧与方法50JIETIJIQIAOYUFANGFA反例及反证法在线性代数中的作用◎巨泽旺薛有奎(山东潍坊工程职业学院262500)【摘要】在各大高等院校教师进行线性代数教学时，为的命题)不成立．但这里，我们讨论的反例是建立在数学上了帮助广大学生更好地理解和掌握线性代数课程中的数学已证实的理论与逻辑推理基础上的，并且具有一定作用的概念及定理内容，通常会使用举反例的办法，与此同时，在反例．举反例也是一种证明的特殊方法，它可证明“某命题讲授解题方法时，如果一个教师能够合理地运用反证法，往不成立”为真．一般地说，一个假命题的反例有多个，我们在往可以降低命题证明的难度

2、，帮助学生理解记忆．本文首先举反例时只选其中一个就可以了．介绍了反例的应用与作用，主要包括反例可以加深对定义在线性代数的每一章中都包含许多定义，并且每个定的理解和掌握以及反例能够帮助学生理解和掌握定理，随义都用字用词凝练、精确，内涵丰富，是前人悉心总结而来后结合教学实例讲述了反证法在线性代数解题过程中的的．初学者在学习时，希望真正地理解掌握这一定义，就必使用．须多角度、多方面地去思考，最终得出定义的本质所在．【关键词】反例;反证法;线性代数例如，定义:设P是由复数组成的集合，其中包含0和1．如果P中的任意两个数(两个数可以相同)对加、减、乘、《线性代数》是一门内容

3、抽象、理论性很强的课程．该课除四种代数运算是封闭的，那么P就称为一个数域．程中包含很多概念以及定理，不仅要求学生对概念和定理简短的一句话，就给出了数域的基本含义．初学者要想进行识记，更要求学生能够学以致用．所以，对于初学者而理解透彻，必然会把这一定义扩展，其中很容易得到易混淆言，准确理解并掌握书中概念和定理内容，并且使用它们进的结论，我们可以举反例来深入理解数域的定义．行命题的证明是十分不容易的．而且《线性代数》是一门理例1自然数集不是数域．自然数集合中取两个数1和论性强、内容抽象的课程．它具有概念及定理多，与实际生3，二者的减法运算在自然数集合中不是封闭的，故自

4、然数活联系少的特点．因此对于初学者来说，正确理解和掌握概集不是数域．念及定理内容，正确证明命题结论，具有相当大的难度．为例2整数集不是数域．整数集合中取两个数3和5，此，本文结合实例指出教学过程中采用反例及反证法解决互相进行除法运算时，会产生分数，不在这个集合之内，故这一问题的必要性．整数集不是数域．笔者以下结合自身多年教学经验，用教材实例说明反上述两个反例很简单，但是加深了学生对数域这一概例及反证法在线性代数教学过程中的重要性．念的理解，方便学生在遇到其他集合时，作出快速而正确的一、反例的应用与作用判断．(一)反例可以加深对定义的理解和掌握再如，如果n维向量组α

5、1，α2，α3，对于任意一组不全为线性代数以其理论上的严谨性、方法上的灵活多样性零的数k1，k2，k3，总有k1α1+k2α2+k3α3≠0成立，则向量组以及与其他学科之间的渗透性，使得它在自然科学、社会科α1，α2，α3线性无关．学及工程技术等许多领域都有广泛的应用．并且线性代数此类判断题，也可以用反例来进行得出结果，可以证明对学生逻辑思维能力、抽象思维能力及对事物认知能力的其两者有关是错误的来证明其是无关的．培养也是至关重要的．另外线性代数可为解决实际问题提(二)反例能够帮助学生理解和掌握定理供重要方法，因为在现代研究中我们不仅要研究单个变量定理是线性代数课程

6、的重要组成部分，学生在学习过之间的关系，还要研究多个变量之间的关系，而各种实际问定义的基础上，掌握相应的定理，才能够更好地去解决线性题可以线性化，由于计算机的发展，线性化了的问题又可以代数中的各种问题．而线性代数课程中的定理特点显著，与计算出来，线性代数正是解决这些问题的有力工具．同时线我们原来所学习的数学定理具有一定的区别．性代数也是学习其他许多课程不可缺少的基本工具．线性例如，定理:在矩阵的乘法中消去律不成立．即由AX=代数这门课对学生今后的发展起着一定的基础性作用．这AY不能得出矩阵X与矩阵Y相等．直接理解这一定理无疑就需要教师在教这门课时，要给出较好的教学

7、体系的设计，是很困难的，因为我们自学习数学以来，接触到的乘法运算结合适当的教学方法，以达到较好的教学效果．本文利用线基本都满足消去律，此处矩阵却不满足，值得我们思考并注性代数中反证法的运用来对线性代数的一些特性以及解题意．我们可以通过一个简单的反例来明确．特点进行分析．2010201020数学中的反例是指符合某个命题的条件，而又不符合例3(00)(00)=(00)(50)=(00)成立．该命题结论的例子．说得更简洁一点，反例就是一种指出某1010命题不成立的例子．当然，从某种意义上来说，所有例子都但是，矩阵(00)≠(50)．可以称为反例，因为它总可以指出某命题(

8、甚至是非常