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1、,第卷第期数学教育学报·,年月!∀#再探反证法教学难的原因朱文芳摘要从学生认知发展的角度,分析了学生学习反证法产生困难的原因关链词反证法人类认知自我监控数学语句引言数学教育学报刊登了西北师范大学数学系张定强教师的一篇关于《学生理解反证法的难点探析》的文章张老师通过对学完反证法的名学生对反证法认识的测试,得出了一些学生在理解反证法时产生困难的原因〔’〕本文在张老师研究的基础上,从学生认知发展的角度,继续挖掘学生学习反证法产生困难的原因,以期对实际的反证法教学提供
2、帮助学生易受人类认知偏向的影响现代认知心理学研究表明人类认知普遍存在着对信息进行直接肯定式加工的内在倾向,,当人们提出的假说只是一种猜想时,往往认为否证它是浪费图例如在日常生活中时间,最有效而经济的策略是先收集正面的例子去加强它的可靠性这种对信息优先进行肯定式加工的偏向,可能是因为肯定式传达的信息更为精确,或者是它在视觉意象中更易表示由此导致人们在解决间题时更倾向于使用直接证法这种人类认知的思维定势当然也会表现在人们对数学问题的探索过程中,,就“”,例如数学史上的直觉主义学派是从数学概念和方法的可信性出发认为数学中的概念和方法都必须是构造性的因此,他们认为证明
3、一个命题的真确,只能从正面证实用反证法只说明了命题的否命题不成立,并未证明命题的真实性因此直觉主义学派排斥反证法由于人类具有这种寻找证实而非证伪的认知偏向,使得学生在解决数学问题时,也总,是先收集正面的论据来加强它忽视寻找起否伪作用的论据五,‘,例如对于命题条线段长为镇镇镇镇其中任何三条都可以组成三角形,证明这样组成的三角形中必有锐角三角形‘,‘,,,十一,,,要证明由组成的三个三角形中必有锐角三角形学生总是从正面,,,,,攻击但进展不大相反如果采用反证法反设任三条线段组成钝角或直角三角形则由余弦定理有、,
4、,“,,,,,,,,,三式相加后得从而这与可以组,,·首都师范大学数学系北京市收稿日期一一第期朱文芳再探反证法教学难的原因成三角形矛盾,,从这例子可以看出反设提供了解决问题的新线索借助这条线索可以推出不少结,,,,最终全要“”果但所有结果都是镜花水月抛弃正像欧拉所说反证法不仅是丢卒保车,而“”“〕且还丢掉整整一盘棋这样的结局导致了人们对证伪的感觉不自在”虽然在证伪,,,过程中每一步到下一步完全合乎逻辑但每一步的结论其实却是
5、不能发生的这是人们感情上所不愿接受的而反证法的实质就是证伪证明原命题的否命题的虚假所以从,这个意义上讲反证法教学更难学生的自我监控能力较弱,,所谓自我监控是指主体为了达到预定目标将自身正在进行的实践活动过程作为对,、、、反馈和调节的过程’象不断地对其进行计划监察评价自我监控能力要求学生在学,,,习时要将自己的注意力同时有效地集中在两个方面上一是学习内容二是学生自身及,,确定其正从事的学习活动过程在数学学习过程中具体表现为学生要会根据数学间题,,、,推理运算的目标制定推理运算的步骤并且在执行过程中不断地调控自己的方向步骤以期达到预定目标解决问题而在反证法学习过
6、程中对自我监控能力要求更高这是反证法本身的特点所决定的反证法与直接证法的不同是推理目标不太明确,对于用反证法证明的题目能推出什,,,,么样的矛盾很难事先估计到也没有一个机械的标准有的甚至是捉摸不定的甚至推证,了很久依然导不出矛盾或者也许本身就没有矛盾一个最典型的例子就是非欧几何创,,造者们最初都企图用反证法来证明平行公设但始终未能推出矛盾这时再从反面考虑问题,非,欧几何的创造者们放弃了对平行公设的证明最终创立了非欧几何,,,,因此学生学习反证法感到困难在于第一使用反证法时推理目标的不明确使得学生难以不断对照目标,调整推理方向第二,推理步骤的不确定性,使得学生难以判
7、断推理,,,过程的正确性调控推理过程第三产生矛盾的隐蔽性也使得学生无法把握推理过程是否完结,难以作出最后结论,,事实证明在解决数学问题时学生经常感觉到反证法不如数学归纳法那样步骤清,、,晰也不象分析法综合法那样已知与未知之间的推理目标明确这些正是其自我监控能,对自己所进行的每一步推理感到把握力不强的表现这样就必然导致学生使用反证法时性,对反证法缺乏信心,甚至怀疑所得结论的可靠性不大这就使反证法教学感到困难学生加工数学语句的水平较低许多心理学家把认知看作是对信息的加工例如,当代认
