2012年考研必须掌握的考研数学线性代数公式

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1、1、行列式2n1.n行列式共有n个元素，展开后有n!项，可分解为2行列式；2.代数余子式的性质：①、A和a的大小无关；ijij②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A；i+ji+j3.代数余子式和余子式的关系：M=−(1)AA=−(1)Mijijijij4.设n行列式D：nn(−1)将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为D，则D=−(1)2D；11nn(−1)将D顺时针或逆时针旋转90�，所得行列式为D，则D=−(1)2D；22将D主对

2、角线翻转后（转置），所得行列式为D，则D=D；33将D主副角线翻转后，所得行列式为D，则D=D；445.行列式的重要公式：①、主对角行列式：主对角元素的乘积；nn(−1)②、副对角行列式：副对角元素的乘积×−(1)2；③、上、下三角行列式（=◥◣）：主对角元素的乘积；nn(−1)④、◤和◢：副对角元素的乘积×−(1)2；AOACCAOAmni⑤、拉普拉斯展开式：==AB、==−(1)ABCBOBBOBC⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；⑦、特征值；nnknk−6.对于n阶行列式A，恒有：λE−A=λ

3、+∑(1)−Skλ，其中Sk为k阶主子式；k=17.证明A=0的方法：①、A=−A；②、反证法；③、构造齐次方程组Ax=0，证明其有非零解；④、利用秩，证明rA()

4、两组基的过渡矩阵；**2.对于n阶矩阵A：AA=AA=AE无条件恒成立；−1**−1−1TT−1*TT*3.(A)=(A)(A)=(A)(A)=(A)TTT***−1−1−1(AB)=BA(AB)=BA(AB)=BA4.矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；5.关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆：⎛A1⎞⎜⎟A若A=⎜2⎟，则：⎜⋱⎟⎜⎟A⎝s⎠Ⅰ、A=AA⋯A；12s−1⎛A⎞1⎜−1⎟A−1⎜2⎟Ⅱ、A=；⎜⋱⎟⎜⎟⎜A−1⎟⎝s⎠AO−1A−1O⎛⎞⎛⎞②、⎜⎟=⎜⎟；（

5、主对角分块）−1⎝OB⎠⎝OB⎠OA−1OB−1⎛⎞⎛⎞③、⎜⎟=⎜⎟；（副对角分块）−1⎝BO⎠⎝AO⎠⎛AC⎞−1⎛A−1−ACB−1−1⎞④、⎜⎟=⎜⎟；（拉普拉斯）−1⎝OB⎠⎝OB⎠−1−1⎛AO⎞⎛AO⎞⑤、⎜⎟=⎜⎟；（拉普拉斯）−1−1−1⎝CB⎠⎝−BCAB⎠3、矩阵的初等变换与线性方程组⎛ErO⎞1.一个mn×矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：F=⎜⎟；⎝OO⎠mn×等价类：所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵

6、A、B，若rA()=rB()⇔A∼B；2.行最简形矩阵：①、只能通过初等行变换获得；②、每行首个非0元素必须为1；③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；3.初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）r−11、若(,AE)∼(EX,)，则A可逆，且X=A；c−1−1②、对矩阵(,)AB做初等行变化，当A变为E时，B就变成AB，即：(,)(,AB∼EAB)；r−1③、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程Ax=b，如果(,)(,)Ab∼Ex，则A可逆，且x=Ab；4.初等矩阵和对角矩阵

7、的概念：①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；2⎛λ1⎞⎜⎟λ②、Λ=⎜2⎟，左乘矩阵A，λ乘A的各行元素；右乘，λ乘A的各列元素；ii⎜⋱⎟⎜⎟λ⎝n⎠−1⎛1⎞⎛1⎞−1⎜⎟⎜⎟③、对调两行或两列，符号Eij(,)，且Eij(,)=Eij(,)，例如：1=1；⎜⎟⎜⎟⎜⎝1⎟⎠⎜⎝1⎟⎠−1⎛1⎞⎛1⎞⎜⎟−11⎜⎟⎜1⎟④、倍乘某行或某列，符号Eik(())，且Eik(())=Ei(())，例如：k=(k≠0)；k⎜⎜⎟⎟⎜k⎟⎝1⎠⎜⎟⎝1⎠−1⎛1k⎞⎛

8、1−k⎞−1⎜⎟⎜⎟⑤、倍加某行或某列，符号Eijk(()),且Eijk(())=Eij((−k))，如：1=1(k≠0)；⎜⎟⎜⎟⎜⎝1⎟⎠⎜⎝1⎟⎠5.矩阵秩的基本性质：①、0≤rA()≤min(,)mn；mn×T②、rA()=rA()；③、若A∼B，则rA()=rB()；④、若P、Q可逆，则rA()=rPA()=rAQ()=rPAQ()；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）⑤、max((),())rArB≤rAB(,