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《一元二次方程之韦达定理》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、韦达定理1.他是十六世纪法国著名的数学家;2.我们曾学过以他的名字命名的定理;3.这个定理研究的是一元二次方程中根与系数的关系.韦达一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式:X1,2=一.定理的内容设一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)两个根为x1,x2,那么(⊿≥0)二.定理的由来∵x1,x2为一元二次方程ax2+bx+c=0的两根∴∴简而言之,由来于“求根公式”算一算(1)x2-7x+12=0(2)x2+3x-4=0(3)2x2+3x-2=0解下列方程并完成填空:方程两根两根
2、和X1+x2两根积x1x2x1x2x2-7x+12=0x2+3x-4=02x2+3x-2=0341271-3-4-4-1--2一元二次方程的根与系数的关系:如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是X1,X2,那么X1+x2=,X1x2=-(韦达定理)注:能用韦达定理的前提条件为△≥0如果方程x2+px+q=0的两根是X1,X2,那么X1+X2=,X1X2=-Pq推论说一说:说出下列各方程的两根之和与两根之积:1、x2-2x-1=02、2x2-3x+=03、2x2-6x=04、3x2=4x1
3、+x2=2x1x2=-1x1+x2=x1+x2=3x1+x2=0x1x2=x1x2=0x1x2=-典型题讲解:例1、已知3x2+2x-9=0的两根是x1,x2。求:(1)(2)x12+x22解:由题意可知x1+x2=-,x1·x2=-3(1)===(2)∵(x1+x2)2=x12+x22+2x1x2∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=(-)2-2×(-3)=6典型题讲解:例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值。解1:设方程的另一个根为x1.答:方
4、程的另一个根是-3,k的值是-2。由韦达定理,得x1+2=k+1x1*2=3k解这方程组,得x1=-3k=-2典型题讲解:例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值。解2:设方程的另一个根为x1.把x=2代入方程,得4-2(k+1)+3k=0解这方程,得k=-2由韦达定理,得x1*2=3k即2x1=-6∴x1=-3答:方程的另一个根是-3,k的值是-2。你会做吗?你会做吗?已知x1,x2是方程3x2+px+q=0的两个根,分别根据下列条件求出p和q的值:(1)x
5、1=1,x2=2(2)x1=3,x2=-6(3)x1=-,x2=(4)x1=-2+,x2=-2-试一试1、已知方程3x2-19x+m=0的一个根是1,求它的另一个根及m的值。2、设x1,x2是方程2x2+4x-3=0的两个根,求(x1+1)(x2+1)的值。今天我学会了......1、韦达定理及其推论2、利用韦达定理解决有关一元二次方程根与系数问题时,注意两个隐含条件:(1)二次项系数a≠0(2)根的判别式△≥01、当k为何值时,方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1。解:设方程两根分别
6、为x1,x2(x1>x2),则x1-x2=1∵(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2由韦达定理得x1+x2=,x1x2=∴解得k1=9,k2=-3∴当k=9或-3时,由于△≥0,∴k的值为9或-3。2、设x1,x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根,且x12+x22=4,求k的值。拓广探索解:由方程有两个实数根,得即-8k+4≥0由韦达定理得x1+x2=2(k-1),x1x2=k2∴X12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4由X12
7、+x22=4,得2k2-8k+4=4解得k1=0,k2=4经检验,k2=4不合题意,舍去。∴k=0二个核心和为积为三个体验A分类性B整体性C探索性四个注意一个定理(表述根与系数关系)①韦达喜欢一般式②韦达重视关系式③韦达要求△≥0④韦达可以逆着用四.回顾与思考说一说