高一数学培优试题

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1、基本不等式与数列应用题一、基本不等式一．基本不等式1.(1)若，则,(2)若，则（当且仅当时取“=”）2.(1)若，则(2)若，则（当且仅当时取“=”）(3)若，则(当且仅当时取“=”）3.若，则（当且仅当时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”（3）均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．类型一、充分

2、利用“1”1．已知，且，则的最小值是_______.解：，∴，∴，当且仅当时，“=”成立，∴最小值为9.2．已知且若恒成立，则的范围是解：原式恒成立等价于,,所以，解得.3．已知实数满足，且，则的最小值为．解：，当且仅当时取等号，所以的最小值为.4．已知为正实数，且，则的最小值为.解：因为，，所以，当且仅当时取等号5．已知，，则的最小值为.解：法一：由可得，所以（当且仅当即时等号成立）；法二：（当且仅当即时等号成立）.6．已知正数满足，则的最小值为．解：由，得，当且仅当，即，也即时等号成立，故最小值

3、是9．5．设，函数的最小值为（）A．10B．9C．8D．解：，当且仅当，时，等号成立，∴的最小值诶9.类型二、根据条件条件求最值：7、已知两正数x，y满足x＋y＝1，则z＝的最小值为．解：==，令,则，由在上单调递减，故当t=时，有最小值，所以当时z有最小值．8、设x，y为实数，若4x2＋y2＋xy＝1，则2x＋y的最大值是________.解：法一∵4x2＋y2＋xy＝1，∴(2x＋y)2－3xy＝1，即(2x＋y)2－·2xy＝1，∴(2x＋y)2－·2≤1，解之得(2x＋y)2≤，即2x＋y≤

4、.等号当且仅当2x＝y＞0，即x＝，y＝时成立．法二　令t＝2x＋y，则y＝t－2x，代入4x2＋y2＋xy＝1，得6x2－3tx＋t2－1＝0，由于x是实数，故Δ＝9t2－24(t2－1)≥0，解得t2≤，即－≤t≤，即t的最大值也就是2x＋y的最大值，为.9．已知，则的取值范围是（）A．B．C．D．解：因为所以所以，.当且仅当时等号成立；故选A.10．已知，满足，则的取值范围为.解：∵，而，∴，∴，当且仅当时取等号，又∵，即，∴，综上可得：.11．设,，则的最小值是.解：先根据条件，原式转化为，

5、利用基本不等式即可求出最小值．，当且仅当取等号；12．若,且,则的最小值为_______．解：因为，则，，，则，则13．已知且则的最大值等于.解：∵x、y均为正数，且x+2y=2，当且仅当时，取等号.故所求式子最大值为14．若正数满足，则的最小值为_________.解：，由已知得，，。15．若a，b，c>0，且a2＋ab＋ac＋bc＝4，则2a＋b＋c的最小值为________．【解析】由已知得a2＋ab＋ac＋bc＝(a＋b)(a＋c)＝4，则2a＋b＋c＝(a＋b)＋(a＋c)≥2＝4，当且仅

6、当a＋b＝a＋c，即b＝c时取等号．∴2a＋b＋c的最小值为4.类型三、消元法：16．设为正实数，满足，则的最小值为．解：,，类型四、巧组合17．已知为正实数，则的最大值为A．B．C．D．解：应根据基本不等式着手解题，难点在于需将化为，而，，于是，当且仅当时，等号成立，故正确选项B．类型五、平方法18．已知a，bR，2a2-b2=1，则

7、2a-b

8、的最小值为.解：,根据基本不等式：,,.类型六、换元（整体思想）19．已知，，，则的最小值为．解：设则而，所以最小值为20.已知，且，则的最大值是（）A.

9、3B.C.4D.解：由，所以，，，因为，，当且仅当，即时等号成立.所以，即，解得：，所以的最大值为4，故选类型七、多次多处使用基本不等式，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。21．已知且，则的最小值是.解：.当且仅当即时等号成立.22．设a>0,b>0，且a+b=1，求证：．证明：∵，∴，∴，∴总之，利用均值不等式求最值的方法多样，而且变化多端，要掌握常见的变形技巧，掌握常见题型的求解方法，加强训练、多多体会，才能达到举一反三的目的。二、数列应用题解题思路：审题---建模---研究模型---返

10、回实际审题：（1）量（多个量）；（2）量间的关系（规律）：等差、等比规律；递推关系；其它规律---由特殊到一般---归纳总结；（3）与通项公式有关或与前n项和有关等例题巩固：1.等差、等比数列类型（通项公式型或前n项和型）例1从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加.(1