勾股定理与几何辅助线综合(难) 【答案】

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1、勾股定理与几何辅助线综合（难）参考答案与试题解析一．选择题（共3小题）1．（2014•十堰）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足为点E，连接AC交DE于点F，点G为AF的中点，∠ACD=2∠ACB．若DG=3，EC=1，则DE的长为（）A．2B．C．2D．【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质可得DG=AG，根据等腰三角形的性质可得∠GAD=∠GDA，根据三角形外角的性质可得∠CGD=2∠GAD，再根据平行线的性质和等量关系可得∠ACD=∠CGD，根据等腰三角形的性质可得CD=DG，再根据勾股定理即可求解．【解答】解：∵AD∥B

2、C，DE⊥BC，∴DE⊥AD，∠CAD=∠ACB，∠ADE=∠BED=90°，又∵点G为AF的中点，∴DG=AG，∴∠GAD=∠GDA，∴∠CGD=2∠CAD，∵∠ACD=2∠ACB=2∠CAD，∴∠ACD=∠CGD，∴CD=DG=3，在Rt△CED中，DE==2．故选：C．【点评】综合考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质和直角三角形斜边上的中线，解题的关键是证明CD=DG=3．2．如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点．已知∠ACB=90°，BE=4，AD=7，则AB的长为（）A．10B．5C．2D．2222【分析】设EC=x，DC=

3、y，则直角△BCE中，x+4y=BE=16，在直角△ADC中，2224x+y=AD=49，解方程组可求得x、y，在直角△ABC中，AB=．【解答】解：设EC=x，DC=y，∠ACB=90°，22222∴在直角△BCE中，CE+BC=x+4y=BE=16第1页（共14页）22222在直角△ADC中，AC+CD=4x+y=AD=49，解得x=，y=1．在直角△ABC中，AB===2，故选C．【点评】本题考查了勾股定理的灵活运用，考查了中点的定义，本题中根据直角△BCE和直角△ADC求DC．BC的长度是解题的关键．3．（2015秋•重庆校级期中）如图，已

4、知△ABC中，点D在AB上，且CD=AD=BD，点F在BC上，过D作DE⊥DF交AC于E，过F作FG⊥AB于G，以下结论：①△ABC为直22222222222角三角形，②BF+DG=DF+BG，③AE+BF=CE+CF，④AG=AC+BG，其中结论正确的序号是（）A．①②B．①④C．①②③D．①②③④【分析】根据在△ABC中，点D在AB上，且CD=AD=BD，点F在BC上，过D作DE⊥DF交AC于E，过F作FG⊥AB于G，可得∠A=∠DCA，∠DCB=∠B，又根据三角形内角和，可以求得∠ACD=90°，从而判断①；再根据题目中的垂直条件，可以通过转

5、化得到②是否正确；点F在BC上，无法确定BF与CF是否相等，由此可以判断③④是否成立．【解答】解：∵CD=AD=BD，∴∠A=∠DCA，∠DCB=∠B，∵∠A+∠DCA+∠DCB+∠B=180°，∴∠A+∠B=∠ACD+∠BCD=90°，∴△ABC为直角三角形，故①正确；∵FG⊥AB，22222∴BF﹣BG=DF﹣DG=FG，2222∴BF+DG=DF+BG，故②正确；∵CD=AD=BD，DE⊥AC，FG⊥BA，∴AE=EC，∵点F在BC上，∴CF与BF不一定相等，2222∴AE+BF不一定等于CE+CF，故③错误；222④AG=AC+BG，∵FG

6、⊥AB，222222∴AG=AF﹣FG，BG=BF﹣GF22222∴AC+BG=AC+BF﹣FG，∵点F在BC上，∴CF与BF不一定相等，第2页（共14页）222∴AG不一定等于AC+BG，故④错误，故选A．【点评】本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，解题的关键是灵活运用勾股定理和勾股定理的逆定理解答问题．二．填空题（共5小题）4．（2013•江岸区模拟）将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的长直角边与含45°角的三角尺（△ACD）的斜边恰好重合．已知AB=2，E是AC上的一点（AE＞CE），且DE=BE，则AE的长为．【分析】根据

7、直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BC，再利用勾股定理列式求出AC，过点D作DF⊥AC于F，根据等腰直角三角形的性质求出DF=CF=AC，设22CE=x，表示出EF，然后分别用勾股定理表示出DE、BE，再列出方程求解即可．【解答】解：∵AB=2，∠BAC=30°，∴BC=AB=×2=，根据勾股定理，AC===3，过点D作DF⊥AC于F，∵△ACD是等腰直角三角形，∴DF=CF=AC=，设CE=x，则EF=﹣x，22222在Rt△DEF中，DE=DF+EF=（）+（﹣x），22222在Rt△BCE中，BE=BC+CE=+x，∵DE=BE

8、，2222∴（）+（﹣x）=+x，解得x=，第3页（共14页）所以，AE=AC﹣CE=3﹣=．故答案为：．【点评】本题考查