理论力学小论文 (北工大)

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1、关于木棍落地问题的研究段承阳12044222指导教师：刘赵淼摘要：均质木棍以一定的倾斜角度自由下落，与地面会发生多次碰撞，直至能量全部耗尽。求解与地面碰撞的次数以及影响次数的因素具有实际意义。本文利用能量守恒原理及碰撞的有关知识，计算在理想条件下，各次碰撞的能量损失，使得n次碰撞的总的能量损失等于初始时的总能量来确定n的具体数值。最后给出与地面碰撞次数n的计算公式，以及对影响因素的定性分析。关键词：木棍落地，能量守恒，碰撞一、引言木棍落地反弹，从本质上讲属于一个碰撞问题。根据百度百科，“碰撞”的定义为在两粒子或物体间极短的相

2、互作用。本文研究的就是木棍与地面的碰撞问题。如今的碰撞理论比较完善，本文旨在利用现有的碰撞理论以及从能量守恒的观点出发，定量计算木棒以一定倾斜角度自由下落与地面碰撞次数及定性的研究木棍质量，木棍长度，下落高度，倾斜角度，恢复因数等对于碰撞次数的影响。研究时要用到一些前人的研究成果。牛顿在研究碰撞规律时发现对于材料确定的物体，其恢复因数几乎是不变的。[1]碰撞过程的两个个基本定理，一是冲量定理即冲量矩等于动量矩的改变量，二是能量守恒原理。[2]点运动学的基本知识如匀加速直线运动的基本规律也十分有用。本文将先根据实际问题建立理想

3、的力学模型，从理论上推导总共碰撞次数n的表达式，最后根据推导，定性分析各影响因素。二、正文2.1基本假设木棍为均质木棍（质心在几何中心），不考虑空气阻力即木棍开始时做自由落体。第i次到第i+1次碰撞间，木棍所做运动为以质心轴为转轴的匀速转动（转动角速度为)与初速度为的匀加速直线运动的合成。2.2理论计算设木棍长为L，质量为m，初始时木棍与水平夹角为θ1，当地重力加速度为g，木棍最低点离水平地面距离为h，木棍恢复因数为e，第i次碰撞前的瞬间木棍的质心速度大小为，绕质心轴转动的角速度为，碰撞后的瞬间质心的速度大小为，绕质心轴转动

4、的角速度为，第i次碰撞瞬间木棍与水平夹角为，从第i次碰撞完成到第i+1次碰撞开始经历的时间为,从第i次碰撞完成到第i+1次碰撞开始木棍质心下降的距离为，第一次碰撞前瞬间木棍质心处为势能零点，规定竖直向上为正方向.由基本假设易得（1）图一如图一，对于第一次碰撞进行计算：由冲量定理,碰撞时有（2）由相对质心的冲量距定理，得（3）其中，转动惯量(4)碰撞前，A处的速度沿竖直方向的投影为(5)碰撞后，A处的速度沿竖直方向的投影为（6）由恢复系数定义(7)联立式（2）到(7)可解得（8）（9）能量损失（10）为了方便计算及讨论，不妨设

5、e=0.5(11)从下落到碰撞木棍做平动，对于第一次碰撞，有（12）(13)将（11）至（13）试代入（8）和（9）中，得(14)（15）将试（14）（15）代入（10）中，得（16）图二第二次碰撞如图二所示从第一次碰撞完成到第二次碰撞经历的时间为(17)由几何关系，（18）由牛顿运动定律-（19）联立（18）（19）得到关于的一个方程（20）上试中只有未知，可以利用Matlab求解上述方程。（21）将，，的值代入（8），（9）得，（22）从第一次碰撞后，每次的碰撞过程相同，仅仅是初始条件不同罢了，可以依次计算出，进而求出每

6、次的能量损失。并且可以推知在形式上相近。（23）（23）式中n即木棍与地面碰撞的总次数。2.3定性分析各影响因素（1）恢复因数根据牛顿的研究，对于材料确定的物体，其恢复因数几乎是不变的。[1]对于不同材料而言e越大，意味着碰撞损失的能量越多，碰撞次数越少。本题中，材料均为均质木材，所以每次碰撞损失的能量与e无关，所以恢复因数对碰撞次数无影响。（2）木棍质量由式（16）可以推知，每一项均含有一个m,n项求和后，可以提出m,在式（23）两端可以同时除以m，及式（23）中不含m,所以，碰撞次数与木棍质量m无关。（3）杆长L由式（1

7、6）及（23），可看出其他条件不变时，杆长越长，的值越大，碰撞次数越多，所以，碰撞次数与杆长正相关。（4）下落高度h中可以提出一个h，由（23），其他条件不变时，h越大，碰撞次数越少，所以，碰撞次数与下落高度负相关。（5）木棍角度由式（16）,显然碰撞次数与木棍与水平线角度有关，具体关系还需进一步深入研究，这里不再讨论。四结论本文定量计算了均质木棍以一定角度自由下落，与地面碰撞次数。经定性分析，碰撞次数与恢复因数，木棍质量无关，与下落高度负相关，与杆长正相关，与木棍与水平线的夹角也有关系。致谢：感谢老师的亲切关怀和悉心指导，

8、由于时间仓促，知识有限，本文难免有不完善之处，希望老师多多包涵并给予宝贵意见和建议。最后，再次感谢老师对我们的培养。参考文献1哈尔滨工业大学理论力学教研室.理论力学（Ⅱ).北京：高等教育出版社，20092张三慧.大学物理学.第三版.北京：清华大学出版社，2008