古代希腊数学(下)

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1、第三讲古代希腊数学（下）古希腊——罗马博物馆亚历山大（匈牙利,1980）亚历山大时期：希腊数学黄金时代从公元前330年左右到公元前30年左右，希腊数学的中心从雅典转移到了埃及的亚历山大城。亚历山大帝国一分为三后，托勒密帝国统治希腊埃及，其首都亚历山大城成为希腊文化的中心。托勒密一世曾经是亚里士多德的学生，他在执政后修建了（亚历山大）缪斯艺术宫，这实际上是一个大博物馆，收藏的图书和手稿据说有50—70万卷。当时的许多著名学者都被请到亚历山大里亚，用国家经费供养着。学者云集，人才辈出！先后出现了欧几里得、阿基米德和阿波罗尼奥斯三大数学家

2、，他们的成就标志了古典希腊数学的巅峰。一、欧几里得与《几何原本》欧几里得(公元前325-前265年)欧几里得（约公元前330—260），应托勒密一世之邀到亚历山大，成为亚历山大学派的奠基人。欧几里得系统地整理了以往的几何学成就，写出了13卷《原本》，欧几里得的工作不仅为几何学的研究和教学提供了蓝本，而且对整个自然科学的发展有深远的影响。爱因斯坦说：“西方科学的发展是以两个伟大的成就为基础的，那就是：希腊哲学家发明形式逻辑体系（在欧几里得几何学中），以及通过系统的实验发现有可能找到因果关系（在文艺复兴时期）。”〈一〉《几何原本》的产生

3、公元前约300年欧几里德（Euclid）集前人工作之大成，把欧多克斯、泰特托斯、希波克拉底等人的著作收入《几何原本》，加以整理和系统化意义：欧几里德《几何原本》的出现，是数学史上一个伟大的里程碑，它不仅是几何学建立的标志，同时也是公理体系在具体学科中应用成功的标志。〈二〉《几何原本》的内容简介13卷475个命题5个公理（一切科学公有的真理）5个公设（某一门科学所接受的第一性原理）点、线、面——原始概念（不加定义或者说给出描述性定义：实质不能算作定义）第一卷：直边形，全等、平行公理、毕达哥拉斯定理、初等作图法等第二卷：几何方法解代数问

4、题，求面积、体积第三、四卷：圆、弦、切线、圆的内接、外切第五、六卷：比例论与相似形第七、八、九、十卷：数论第十一、十二、十三卷：立体几何，包括穷竭法，是微积分思想的来源五条公理：1.等于同量的量彼此相等.2.等量加等量,和相等.3.等量减等量,差相等.4.彼此重合的图形是全等的.5.整体大于部分.五条公设：Ⅰ从任意一点到任意一点可作直线（线段）（也就是：两点决定一条直线）；Ⅱ有限直线可以继续延长；Ⅲ以任意一点为中心及任意的距离（为半径）可以画圆；Ⅳ所有直角都相等；Ⅴ同一平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角和小于两直

5、角，则这两直线经无限延长后在这一侧相交。《几何原本》的不足：1）定义并不严格2）公理并不总是自明的：关于第五公设第五公设的等价公设：过已知直线外一点能且只能作一条直线与已知直线平行高斯、罗巴切夫斯基、波约——创立非欧几何（球面几何、双曲几何、椭圆几何）这场几何学的革命冲破了欧氏几何传统的束缚，从此几何学呈现出更加精彩纷呈的局面〈三〉《几何原本》思想方法的特点1封闭的演绎体系2抽象化的内容3公理化的方法〈四〉《几何原本》思想方法的深远意义近代西方数学的主要源泉之一对数学认识的一个质的飞跃古希腊数学的最高成就之一对世界数学的发展和数学人

6、才的培养（教育与传播）产生了巨大影响《几何原本》的影响《几何原本》对后来数学思想有重要影响。其一：公理化思想——从一些基本的概念和公理出发，利用纯逻辑推理的方法，把一门学科建立成演绎系统的方法。后来的许多著作都仿照这种格式写成，如牛顿的《自然哲学的数学原理》等；其二：几何直观与严格逻辑推理的结合使欧几里得几何长期被认为是最正宗的数学知识，笛卡儿在发明了解析几何后仍坚持对每一个几何作图给出综合证明，牛顿在第一次公开他的微积分发明时也要对这一算法作出几何解释；其三：导致非欧几何的诞生。《原本》具体内容例说——第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ及Ⅵ（6）卷包含

7、了平面几何的一些基本内容，如全等三角形、平行线、多边形、圆、毕达哥拉斯定理、初等作图及相似形等。毕达哥拉斯定理（卷Ⅰ命题47）的证明是用面积来做的。勾股定理之欧几里得证法：首先证明⊿ABD≌⊿FBC，推得矩形BL的面积与正方形ABFG的面积相等（为什么？）；同理推得矩形CL的面积与正方形ACKH的面积相等。"新娘的轿椅"或"修士的头巾"第Ⅱ、Ⅵ卷中涉及所谓“几何代数”的内容，即以几何形式处理的代数问题。例如Ⅱ卷命题4：若把一线在任意一点割开，则在整个线上的正方形等于两段上的正方形加上以两段为边的矩形（如图）。相当于代数关系式：第Ⅴ卷

8、讲比例论，是以欧多克斯的工作为基础的。有人认为这一卷代表了《原本》的最大成就，因为它在当时的认识水平上消除了由不可公度量引起的数学危机。第Ⅴ卷是将比例理论由可公度量推广到不可公度量，使它能适用于更广泛的几何命题证明，从而巧妙地回避了无