立体几何知识点和例题讲解

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1、立体几何知识点和例题讲解（高三）一、知识点1.夹角公式：设a＝，b＝，则cos〈a，b〉=.2．异面直线所成角：=（其中（）为异面直线所成角，分别表示异面直线的方向向量）3.直线与平面所成角：(为平面的法向量).4.空间四点A、B、C、P共面，且x+y+z=15.二面角的平面角或（，为平面，的法向量）.6.异面直线间的距离：(是两异面直线，其公垂向量为，分别是上任一点，为间的距离).7.点到平面的距离：（为平面的法向量，是经过面的一条斜线，）.〈二〉温馨提示：1.直线的倾斜角、两条异面直线所成的

2、角等时它们各自的取值范围？①异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值范围依次.②直线的倾斜角、到的角、与的夹角的取值范围依次是．二、题型与方法【考点透视】不论是求空间距离还是空间角，都要按照“一作，二证，三算”的步骤来完成。求解空间距离和角的方法有两种：一是利用传统的几何方法，二是利用空间向量。xzABCDOFy【例题解析】考点1点到平面的距离求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面内的垂足，当然别忘了转化法与等体积法的应用.例1如图，正三棱柱的所有棱长都为

3、，为中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的大小；（Ⅲ）求点到平面的距离．考点2异面直线的距离此类题目主要考查异面直线的距离的概念及其求法，考纲只要求掌握已给出公垂线段的异面直线的距离.例2已知三棱锥，底面是边长为的正三角形，棱的长为2，且垂直于底面.分别为的中点，求CD与SE间的距离.思路启迪：由于异面直线CD与SE的公垂线不易寻找，所以设法将所求异面直线的距离，转化成求直线与平面的距离，再进一步转化成求点到平面的距离.小结：通过本例我们可以看到求空间距离的过程，就是一个不断转化的过程.考点3

4、直线到平面的距离此类题目再加上平行平面间的距离，主要考查点面、线面、面面距离间的转化.BACDOGH例3．如图，在棱长为2的正方体中，G是的中点，求BD到平面的距离.思路启迪：把线面距离转化为点面距离，再用点到平面距离的方法求解.小结：当直线与平面平行时，直线上的每一点到平面的距离都相等，都是线面距离.所以求线面距离关键是选准恰当的点，转化为点面距离.本例解析一是根据选出的点直接作出距离；解析二是等体积法求出点面距离.考点4异面直线所成的角此类题目一般是按定义作出异面直线所成的角，然后通过解三角

5、形来求角.异面直线所成的角是高考考查的重点.例4、如图，在中，，斜边．可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角的直二面角．是的中点．1求证：平面平面（2）求异面直线与所成角的余弦值。．思路启迪：关键是通过平移把异面直线转化到一个三角形内.．建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，，．．考点5直线和平面所成的角此类题主要考查直线与平面所成的角的作法、证明以及计算.线面角在空间角中占有重要地位，是高考的常考内容.例5.四棱锥中，底面为平行四边形，侧面底面．已知，，，．（Ⅰ）证明；（Ⅱ）求直线与平面所成角的

6、大小．如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PDC是边长为2的正三角形且与底面ABCD垂直，∠ADC=60°且ABCD为菱形．ABCDP(1)求证：PA⊥CD；(2)求异面直线PB和AD所成角的余弦值；(3)求二面角P-AD-C的正切值．考点6二面角此类题主要是如何确定二面角的平面角，并将二面角的平面角转化为线线角放到一个合适的三角形中进行求解.二面角是高考的热点，应重视.ABCQPOxyz例6．如图，已知直二面角，，，，，，直线和平面所成的角为．（I）证明；（II）求二面角的大小．命题目的：本题主要

7、考查直线与平面垂直、二面角等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.考点7利用空间向量求空间距离和角众所周知，利用空间向量求空间距离和角的套路与格式固定.当掌握了用向量的方法解决立体几何问题这套强有力的工具时，不仅会降低题目的难度，而且使得作题具有很强的操作性.例7．如图，四棱锥是的底面是矩形，平面，分别是的中点，又二面角的大小为，（1）求证：面；（2）求证：平面平面；（3）设，求点到平面的距离；．命题意图：本小题主要考查平面的基本性质、线线平行、线面垂直、二面角等基础知识和基本运算

8、，考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力．