第6讲 加法原理

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1、加法原理所考虑的每一个问题，按照可能和需要，分成若干部分，使它们更易于求解。—笛卡尔我们先看下面的问题：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。一天中，火车有4班，汽车有2班，轮船有3班。那么，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？因为一天中乘火车有4种走法，乘汽车有2种走法，乘轮船有3种走法，每一种走法都可以从甲地到达乙地，因此，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有4+2+3=9（种）不同的走法。一般地，有如下原理：加法原理做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法

2、中有m2种不同的方法，…在第n类办法中有mn种不同的方法，那么，完成这件事共有N=ml+m2+…+mn种不同的方法。应用加法原理的关键是分类，即将所有计数对象依据同一标准，分为不重不漏的若干类。应用加法原理的解题步骤是：请同学们注意乘法原理与加法原理的不同之处。乘法原理中，做一件事要分成若干步骤，所有步骤一个接一个地完成，这件事方算完成，其中每…步骤都是必不可少的，在加法原理中，把做一件事的各种方法分成好几类，每一类中的任何一种方法都能完成这件事。例1有人顺序写数1，2，3，…，9，10，11，…一直写到1000，一共写了多少个数字？其

3、中写了多少个0?把所写的数字分成4类：一位数，两位数，三位数，四位数，然后分类计数。为了计算共写了多少个O，对写的O也进行分类，写在个位上的0，写在十位上的0，写在百位上的O，写在千位上的0，共4类，再分类计数。解:写的数中，一位数共9个，写出这9个一位数共写了1×9=9（个）数字；写出的两位数共90个，共写了2×90=180（个）数字；写出的三位数共900个，共写了3×900=270（个）数字；写出的四位数共1个，共写了4x1=4（个）数字。因此共写9+180+2700+4=2893（个）数字。写在个位上的0，每隔10个数出现一次，共

4、计1000÷10=100（个），十位上的O，前99个数中没有，从100起，每100个数中都有连续10个数的十位数字是0,100-109，200-209，…，900-909，还有1000，共10×9+1=91（个）；百位上的0，只有l000这个数有，计1个；千位上的0未出现，计0个。于是数字0共写了100+91+1=192（个）。答：一共写了2893个数字。其中写了192个0。例21995的数字和是l+9+9+5=24。问：小于2000的四位数中，数字和等于24的数共有多少个？解：小于2000的四位数千位数字是1，要它数字和为24，只需其

5、余三位数字和是23。因为十位、个位数字和最多为9+9=18，因此，百位数字至少是5．于是百位为5时，只有1599-个；百位为6时，只有1689，1698两个；百位为7时，只有1779，1788，1797三个；百位为8时，只有1869，1878，1887，1896四个；百位为9时，只有1959，1968，1977，1986，1995五个；总计共1+2+3+4+5=15（个）。例3有5家英国公司，6家日本公司，8家中国公司参加某国际会议洽谈贸易，彼此都希望与异国的每个公司单独洽谈一次，问：要安排多少次会谈场次？解由乘法原理，中英会谈需5×8

6、个场次，英日会谈需5×6个场次，中日会谈需6×8个场次，这三类会谈互不重叠，由加法原理，共需5×8+5×6+6×8=118个场次。此题既用乘法原理，又用加法原理。例4从1至400的所有自然数中，不含数字43的自然数有多少个？分析与解从l至400的自然数可分为三类：一位数，两位数和三位数。一位数中不含数字3的有8个：1，2，4，5，6，7，8，9；两位数中不含数字3的有72个，这是因为十位上数字有1，2，4，5，6，7，8，9这8种取法，个位上数字有1，2，4，5，6，7，8，9，O这9种取法，根据乘法原理应有不含数字3的两位数8×9=7

7、2（个）。三位数中不含数字3的有163个。除去400外，因百位上有1，2两种取法，十位与个位上均有0，1，2，4，5，6，7，8，9这9种取法，根据乘法原理，百位是l，2，而十位和个位均不含3的三位数共有2×9×9=162（个）。根据加法原理，从1到400所有自然数中不含数字3的有8+72+163=243（个）。答：从l到400的自然数中，不含数字3的自然数有243个。这道题还可以这样考虑：把一位数前面添两个O，两位数前面添一个0，比如2写成002，45写成045，这样一夹全变成了“三位数”。除去数400外，考虑不合数字3的这样的“三位

8、数”的个数。百位上可以取0，1，2，有3种情形；十位与个位上均可以取0，l，2，4，5，6，7，8，9，各有9种情形，根据乘法原理，这样的数共有3×9×9=243（个）．但是需要特别注意，数“000”不合要