用导数求解二项式系数问题

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1、用导数巧解二项式系数问题湖南省地质中学（410011）康瑞华一、系数问题：已知等式(x2＋2x＋2)5＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9＋a10(x＋1)10，其中ai(i＝0,1,2，…，10)为实常数．求：(1)an的值；(2)nan的值．解(1)∵(x2＋2x＋2)5＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9＋a10(x＋1)10∴令x＝0，则a0＋a1＋a2＋…＋a9＋a10＝25＝32；令x＝－1，则a0＝1，即an＝31.(2)（赋值法）∵(x2＋2x＋2

2、)5＝[1＋(x＋1)2]5＝×15＋(x＋1)2＋(x＋1)4＋(x＋1)6＋(x＋1)8＋(x＋1)10＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a10(x＋1)10，∴a0＝，a1＝a3＝a5＝a7＝a9＝0，a2＝，a4＝，a6＝，a8＝，a10＝.∴nan＝a1＋2a2＋3a3＋…＋10a10＝2＋4＋6＋8＋10＝10＋10＋10＝50＋100＋10＝160.(导数法)：对等式：(x2＋2x＋2)5＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9＋a10(x＋1)10两边同时求导得：再

3、令x＝0即可。二、拓展延伸：在(2x－3y)10的展开式中，求：(1)二项式系数的和；(2)各项系数的和；(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；(4)奇数项系数和与偶数项系数和；(5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和．解：设(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10，(*)各项系数和即为a0＋a1＋…＋a10，奇数项系数和为a0＋a2＋…＋a10，偶数项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9，x的奇次项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9，x的偶次项系数和a0＋a2＋a4＋…

4、＋a10.由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和．2(1)二项式系数的和为…＝210.(2)令x＝y＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1.(3)奇数项的二项式系数和为…＝29，偶数项的二项式系数和为＋…＋＝29.(4)令x＝y＝1，得到a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，①令x＝1，y＝－1(或x＝－1，y＝1)，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝510，②①＋②得2(a0＋a2＋…＋a10)＝1＋510，∴奇数项的系数和为；①－②得2(a1＋a3＋…＋a9)＝1－510，∴偶数项的系

5、数和为.(5)x的奇次项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9＝；x的偶次项系数和为a0＋a2＋a4＋…＋a10＝.三、探究提高：(1)“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax＋b)n、(ax2＋bx＋c)m(a、b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．(2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…

6、＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝。四、巩固训练：1．若(2x＋3)3＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋a3(x＋2)3，则a0＋a1＋2a2＋3a3＝________.分析：（导数法）等式两边求导得：令；令原等式中的得，相加即可。2．若a4(x＋1)4＋a3(x＋1)3＋a2(x＋1)2＋a1(x＋1)＋a0＝x4，则a3－a2＋a1＝______.答案：1.5　;2.－14　。2