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《高等数学第八章多元微分第八章习题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第八章多元函数微分学第八章上页下页返回结束习题课基本概念基本计算基本应用平面点集和区域多元函数的极限多元函数连续的概念极限运算多元连续函数的性质多元函数概念一、基本概念上页下页返回结束全微分的应用高阶偏导数隐函数求导法则复合函数求导法则全微分形式的不变性微分法在几何上的应用方向导数多元函数的极值全微分概念偏导数概念上页下页返回结束上页下页返回结束例1.讨论二重极限解一解二令解三令时,下列算法是否正确?分析:解一解二令上页下页返回结束此法第一步排除了沿坐标轴趋于原点的情况,此法排除了沿曲线趋于原点的情况.此时极限为1.第二步未考虑分母变化的所有情况,解三令上页下页返回结束此
2、法忽略了的任意性,极限不存在!由以上分析可见,三种解法都不对,因为都不能保证自变量在定义域内以任意方式趋于原点.特别要注意,在某些情况下可以利用极坐标求极限,但要注意在定义域内r,的变化应该是任意的.同时还可看到,本题极限实际上不存在.×提示:利用故f在(0,0)连续;知在点(0,0)处连续且偏导数存在,但不可微.例2.证明上页下页返回结束而所以f在点(0,0)不可微!上页下页返回结束例3.已知求出的表达式.解一令即解二以下与解一相同.则且上页下页返回结束显式结构隐式结构1.分析复合结构(画变量关系图)自变量个数=变量总个数–方程总个数自变量与因变量由所求对象判定2.
3、正确使用求导法则3.利用一阶微分形式不变性上页下页返回结束二、基本计算重点是多元复合函数偏导数的计算例4.解上页下页返回结束上页下页返回结束例5.解,dxdz为求由此可得,上页下页返回结束例6.设其中f与F分别具解一方程两边对x求导,得有一阶导数或偏导数,求99考研上页下页返回结束解二方程两边求微分,得化简消去即可得上页下页返回结束例7.设有二阶连续偏导数,且求解上页下页返回结束例8.设函数f二阶连续可微,求下列函数的二上页下页返回结束阶偏导数解答提示:上页下页返回结束上页下页返回结束有连续的一阶偏导数,及分别由下两式确定求又函数答案:2001考研上页下页返回结束例9.设
4、三、基本应用1.在几何中的应用求曲线的切线与法平面(关键:抓住切向量)求曲面的切平面与法线(关键:抓住法向量)2.极值与最值问题极值的必要条件与充分条件求条件极值的方法(消元法,拉格朗日乘数法)求解最值问题上页下页返回结束例10.在第一卦限作椭球面的切平面,使其在三坐标轴上的截距平方和最小,并求切点.解设切点为则切平面的法向量为即切平面方程上页下页返回结束问题归结为求在条件下的条件极值问题.设拉格朗日函数上页下页返回结束切平面在三坐标轴上的截距为令由实际意义可知为所求切点.上页下页返回结束唯一驻点例11.求旋转抛物面与平面之间的最短距离.解设为抛物面上任一点，则P的距离为
5、问题归结为约束条件:目标函数:作拉氏函数上页下页返回结束到平面令解此方程组得唯一驻点由实际意义，最小值存在,故上页下页返回结束上求一点,使该点处的法线垂例12.在曲面并写出该法线方程.提示设所求点为则法线方程为利用得垂直于平面法线垂直于平面点在曲面上上页下页返回结束例13.在第一卦限内作椭球面的切平面使与三坐标面围成的四面体体积最小,并求此体积.提示设切点为用拉格朗日乘数法可求出则切平面为所指四面体围体积V最小等价于f(x,y,z)=xyz最大,作拉格朗日函数上页下页返回结束作业P735，6，10，15，17上页下页返回结束
