高等数学电子教案(II)

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1、第三节幂级数前面我们已经研究了常数项级数，下面将继续研究函数一.函数项级数的一般概念设u1(x),u2(x),...un(x)...都是定义在某一区间I上的函数序列,项级数.这是比常数项级数具有更加广泛意义的级数。则表达式u1(x)+u2(x)+...+un(x)...(1)称为在I上的函数项级数,记为对于I上的任一定点x0,函数序列就成为数列,此时函数项级数u1(x)+u2(x)+...+un(x)...(1)就成为u1(x0)+u2(x0)+...+un(x0)...(2)这个级数(2)就是常数

2、项级数对于I上的不同的点,就有不同的常数项级数,所以函数项级数和常数项级数的关系是一般和特殊的关系.这样我们可以把常数项级数的有关理论和审敛法的知识应用到函数项级数中来.级数(2)可能收敛也可能发散.如果(2)收敛,我们称点x0是函注意:I上的点若不是收敛点就是发散点,收敛域可能是区间,数项级数(1)的收敛点;如果(2)发散,我们称点x0是函数项级数(1)的发散点函数项级数(1)的所有收敛点的全体称为它的收敛域,所有发散点的全体称为它的发散域.也可能是孤立点,还可能是空集.对应于收敛域内的任意一个数

3、x,函数项级数成为一收敛我们仍把rn(x)=S(x)-Sn(x)叫做函数项级数的余项(当然,只有x在收敛域rn(x)才有意义),于是有的常数项级数,因而有一确定的和S.这样在收敛域上,函数项级数的和是x的函数S(x),通常称S(x)为函数项级数的和函数,这函数的定义域就是级数的收敛域,写成S(x)=u1(x)+u2(x)+...+un(x)...把函数项级数(1)的前n项的部分和记作Sn(x),则在收敛域上有判断函数项级数的收敛性仍然和常数项级数一样,有(1)和函数极限的存在性.(2)比值判别法(3

4、)根值判别法例1讨论下函数项级数的收敛域并求和函数解:函数项级数的定义域是(-∞,+∞)当

5、x

6、≠1时,由公比为x的等比数列求和公式,可得到的收敛域利用比值判别法比值判别法失效,但由例2讨论函数项级数级数收敛,且绝对收敛知级数发散故收敛域为二幂级数及其收敛性函数项级数是比较复杂的,这是因为它的每一项都是比其中常数a0,a1,a2,....an...叫做幂级数的系数.都是幂级数例如较复杂的函数.但这些函数都是幂函数时,它在理论上和形式上都很简单,却应用很广泛的一类级数,称为幂级数.幂级数的一般形式是幂

7、级数之所以简单而重要,首先在于它的部分和Sn(x)是幂级数收敛域的研究由Aber得到关于x的多项式,尽管它的和函数S(x)可能是很复杂的函数,当它总是可以用多项式来近似地表达,而且只要n充分大时,这种近似表达可以达到任意指定的精确程度,其次幂级数的收敛域有比较简单的形式.幂级数发散证明:先设x0是幂级数(3)收敛点,即级数收敛.根据级数收敛的必要条件,这时有定理(Aber)如果级数当x=x0(x0≠0)时收敛,则适合不等式

8、x

9、<

10、x0

11、的一切x使这幂级数绝对收敛,反之,如果级数当x=x0时发散,则

12、适合不等式

13、x

14、>

15、x0

16、的一切x使这于是存在一个常数M,使得这样级数(3)的一般项的绝对值因为当

17、x

18、<

19、x0

20、时,等比级数所以级数绝对收敛定理的第二部分可用反证法证明.若幂级数当x=x0时发散收敛,也就是级数而有一点x1适合

21、x1

22、>

23、x0

24、使级数收敛,则根据本定理的第一部分,级数当x=x0时应该收敛,这和所设矛盾.定理得证.定理1告诉我们,如果幂级数在x=x0处收敛,则对于开区间设已给幂级数在数轴上既有收敛点(不仅是原点)也有发散(-

25、x0

26、,

27、x

28、)内的任何x幂级数都收敛;如果幂级数在x=x

29、0处发散,则对于闭区间[-

30、x0

31、,

32、x

33、]外的任何x幂级数都发散.点.现在从原点沿数轴向右方走,最初只遇到收敛点,然后就只遇到发散点.这两部分的界点可能是收敛点也可能是发散点.从原点沿数轴向左方走情况也是如此.两界点在原点的两侧,且由定理1可以证明它们到原点的距离是一样的.oR-Rpp’从上面的几何说明,我们知道,幂级数的收敛域是以数轴上原点为中心的对称区间.这里的特殊情况是整个数轴,或仅有数轴的原点是收敛域.且当

34、x

35、

36、x

37、>R时幂级数发散.对于任何幂级数如果都存在一个

38、非负数R,0