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1、第六章定积分的应用教学目的1、理解元素法的基本思想；2、掌握用定积分表达和计算一些几何量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积）。教学重点：1、定积分的元素法、计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积。2、旋转体的体积及侧面积，计算变力所做的功、引力、压力和函数的平均值等。教学难点：1、截面面积为已知的立体体积。2、引力。§6.1定积分的元素法一、问题的提出回顾：曲边梯形求面积的问题曲边梯形由连续曲线、轴与两条直线、所围成。abxyo面积表示为定
2、积分的步骤如下（1）把区间分成个长度为的小区间，相应的曲边梯形被分为个小窄曲边梯形，第个小窄曲边梯形的面积为，则（2）计算的近似值（3）求和，得A的近似值（4）求极限，得A的精确值若用表示任一小区间上的窄曲边梯形的面积，则，并取，于是当所求量符合下列条件：（1）是与一个变量的变化区间有关的量；（2）对于区间具有可加性，就是说，如果把区间分成许多部分区间，则相应地分成许多部分量，而等于所有部分量之和；（3）部分量的近似值可表示为；就可以考虑用定积分来表达这个量元素法的一般步骤：1)根据问题的具体情况，选取一个变量例如为积分变量，并确定它的
3、变化区间2）设想把区间分成个小区间，取其中任一小区间并记为，求出相应于这小区间的部分量的近似值.如果能近似地表示为上的一个连续函数在处的值与的乘积，就把称为量的元素且记作，即；3）以所求量的元素为被积表达式，在区间上作定积分，得，即为所求量的积分表达式.这个方法通常叫做元素法．应用方向：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等．§6.2定积分在几何上的应用一、平面图形的面积1．直角坐标情形设平面图形由上下两条曲线y=f上(x)与y=f下(x)及左右两条直线x=a与x=b所围成,则面积元素为[f上(x)-f下(x)
4、]dx,于是平面图形的面积为.类似地,由左右两条曲线x=j左(y)与x=j右(y)及上下两条直线y=d与y=c所围成设平面图形的面积为.例1计算抛物线y2=x、y=x2所围成的图形的面积.解(1)画图.(2)确定在x轴上的投影区间:[0,1].(3)确定上下曲线:.(4)计算积分.例2计算抛物线y2=2x与直线y=x-4所围成的图形的面积.解(1)画图.(2)确定在y轴上的投影区间:[-2,4].(3)确定左右曲线:.(4)计算积分.例3求椭圆所围成的图形的面积.解设整个椭圆的面积是椭圆在第一象限部分的四倍,椭圆在第一象限部分在x轴上的
5、投影区间为[0,a].因为面积元素为ydx,所以.椭圆的参数方程为:x=acost,y=bsint,于是.2．极坐标情形曲边扇形及曲边扇形的面积元素:由曲线r=j(q)及射线q=a,q=b围成的图形称为曲边扇形.曲边扇形的面积元素为.曲边扇形的面积为.例4.计算阿基米德螺线r=aq(a>0)上相应于q从0变到2p的一段弧与极轴所围成的图形的面积.解:.例5.计算心形线r=a(1+cosq)(a>0)所围成的图形的面积.解:.二、体积1．旋转体的体积旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体.这直线叫做旋转轴.常见的旋转
6、体:圆柱、圆锥、圆台、球体.旋转体都可以看作是由连续曲线y=f(x)、直线x=a、a=b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体.设过区间[a,b]内点x且垂直于x轴的平面左侧的旋转体的体积为V(x),当平面左右平移dx后,体积的增量近似为DV=p[f(x)]2dx,于是体积元素为dV=p[f(x)]2dx,旋转体的体积为.例1连接坐标原点O及点P(h,r)的直线、直线x=h及x轴围成一个直角三角形.将它绕x轴旋转构成一个底半径为r、高为h的圆锥体.计算这圆锥体的体积.解:直角三角形斜边的直线方程为.所求圆锥体的体积为.例2.计算
7、由椭圆所成的图形绕x轴旋转而成的旋转体(旋转椭球体)的体积.解:这个旋转椭球体也可以看作是由半个椭圆及x轴围成的图形绕x轴旋转而成的立体.体积元素为dV=py2dx,于是所求旋转椭球体的体积为.例2求星形线绕轴旋转构成旋转体的体积.解：旋转体的体积例3计算由摆线x=a(t-sint),y=a(1-cost)的一拱,直线y=0所围成的图形分别绕x轴、y轴旋转而成的旋转体的体积.解所给图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积为=5p2a3.所给图形绕y轴旋转而成的旋转体的体积是两个旋转体体积的差.设曲线左半边为x=x1(y)、右半边为x=x2(y)
8、.则=6p3a3.2．平行截面面积为已知的立体的体积设立体在x轴的投影区间为[a,b],过点x且垂直于x轴的平面与立体相截,截面面积为A(x),则体积元素为A(x)dx,立体的体积为.例4一平面经过半径为R
