高等数学-45曲线凸性、拐点与渐近线

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1、第五节曲线凸性、拐点与渐近线问题:如何研究曲线的弯曲方向?图形上任意弧段位于所张弦的上方图形上任意弧段位于所张弦的下方4.5.1曲线凸性与拐点1定义：设函数y=f(x)在(a，b)内可导，如果曲线y=f(x)上任意一点的切线都在曲线的上方，则称该曲线为上凸的（凸弧），称区间(a，b)为该曲线的上凸区间；如果曲线y=f(x)上任意一点的切线都在曲线的下方，则称该曲线为下凸的（凹弧），称区间(a，b)为该曲线的下凸区间或凹区间。规范的定义：如果函数y=f(x)在(a，b)内任意两点x1，x2都满足：则称该曲线为上凸。如果函数y=f(x)在(a，b)内任意两点x1，x2都满足：则称该曲线为下

2、凸。2定理1：设函数y=f(x)在(a，b)内二阶可导,则有(1)若在(a，b)内有，曲线y=f(x)在(a，b)内下凸。(2)若在(a，b)内有，曲线y=f(x)在(a，b)内上凸。3例1：解：注意到,4定义：注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.证：由可导函数取极值的条件.5拐点的求法6例2：解：凹的凸的凹的拐点拐点7注意:曲线的上凸区间为，下凸区间为和，拐点为（0，1）和。8例3：解：9考研题欣赏（2004年3，4）设，则(A)x=0是f(x)的极值点，但(0,0)不是曲线y=f(x)的拐点。(B)x=0不是f(x)的极值点，但(0,0)是曲线y=f(x)的拐点。(C)x=0是f

3、(x)的极值点，且(0,0)是曲线y=f(x)的拐点。(D)x=0不是f(x)的极值点，(0,0)也不是曲线y=f(x)的拐点。答案：(C)104.4.2曲线的渐近线定义:1.垂直渐近线11例1:两条有垂直渐近线:解：122.水平渐近线例2:有两条水平渐近线:解：133.斜渐近线斜渐近线求法:14注意:15例3：解：1617考研题欣赏（2000年3，4）曲线（A）仅有水平渐近线。（B）仅有铅直渐近线。（C）既有铅直又有水平渐近线。（D）既有铅直又有斜渐近线。答案：(D)18考研题欣赏（2003年3,4）曲线的单调区间、极值、渐近线。194.4.3函数作图利用函数特性描绘函数图形.第一步

4、第二步20第三步第四步确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐近线以及其他变化趋势;第五步21例1：解：定义域为x≠0。非奇非偶函数,且无对称性.22列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点:不存在拐点极值点间断点23作图2425例2：解：偶函数,图形关于y轴对称.定义域为R。26列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点:拐点极大值拐点2728