高考数列题的常用解题

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1、高考数列题的常用解题策略浙江省永康县一中 李康海  数列是高中数学的重要内容,它与数、式、函数、方程、不等式有着密切的联系,求解数列题往往涉及到重要的数学思想方法,对学生的能力要求较高。因此,数列问题成为历年高考的热点内容,本文以高考题为实例,谈谈求解高考数列题的常用策略。  一、化归转化策略  数列问题常可化归为等差(等比)数列或化归为我们熟悉的数列问题去求解;又由于数列的通项公式及求和公式可看成是关于的函数,因此,也可将数列问题转化成函数问题去解决。例1、设是正数组成的数列,其前项和为,且对所有的自然数,与2的等差中项等于与2的等比中项,求数列的通项公

2、式。(1994年全国高考试题)解:由题意,得。当≥2时,,整理得:,故数列是首项为2,公差为4的等差数列,。例2、设为数列的前项和,,数列通项公式为。(1)求数列的通项公式;(2)若,则称为数列与的公共项。将数列与的公共项,按它们在原数列中的先后顺序排成一个新的数列,证明数列的通项公式为;(3)略。(1996年上海高考试题)解:(1)由已知,当时,,解得,当时,,解得。∴数列是首项为3,公比为3的等比数列,故。(2)易知不是数列中的项,是数列中的第6项。设是数列中的第项,则,,不是数列中的项。又,是数列中的项。因此,,。评析:解(2)的关键是由题设得出这一

3、关系式,难点是运用分类思想进行归纳、判断,得出的通项公式,分类是按除以3的余数来进行讨论。该题应用了化归、分类等思想,是一道反映高考动向,考察学生能力的好题。例3、设等差数列的前项和为,已知。(1)求公差的取值范围;(2)指出中哪一个值最大,并说明理由。(1992年全国高考试题)解:(1)由题意,即,又,∴,代入(1),(2)得。(2),,因为<0,且当时,,由二次函数的知识得时,最大,即最大。二、整体思维策略  在解题时,运用数列的性质,如等差数列中,;等比数列中,(其中)等等,进行整体思考,可以简化解题过程,优化解题质量,例4、等差数列的前项和为30,

4、前项和为100,则它的前项和为()。(A)130;(B)170;(C)210;(D)260。(1996年全国高考试题)解:由等差数列的性质,有,。例5、设是由正数组成的等比数列,是其前项和,证明。(1995年全国高考试题)证明:设的公比为,由得,,故。三、特殊探测策略  通过对某些特殊情形的观察、探索,猜测出问题的一般结论,然后运用数学归纳法或其它方法加以证明。这种策略是解数列题的常用策略之一。例6、是否存在常数,使等式对一切自然数都成立,并证明你的结论。(1989年全国高考试题)解:令得:,解得,猜测:对一切自然数都成立。易用数学归纳法给予证明(略)例7

5、、若,那么是否可依某个次序组成等比数列?若能,求出的值;若不能,说明理由。(1995年咸阳市高考诊断试题)解:当时,。从而猜测可能按的次序成等比数列。若成等比数列,则,解得,∴满足,故可按的次序组成等比数列,此时。四、递推探求策略  对于有些数列问题,我们可以建立起一个递推关系式,根据递推关系的性质进行探求。例8、设数列的前项和为,且,(其中是与无关的常数,且)。试写出用和表示的表达式。(1987年全国高考试题)解:,当时,,故,继续用递推式(1)代下去,即得,五、分类讨论策略  所谓分类讨论策略,是指解题时根据数列的有关公式,如,且;等比数列求和公式等;

6、或根据问题的特点进行分类讨论的策略。例9、已知等比数列的首项,公比且,设数列的通项,数列、的前项和分别记为,试比较与的大小。(1989年上海高考试题)解:。当时,;当时,,。故当且时,总有。又,∴当且时,;当时,;当时,。

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