《参数方程》教案(新人教选修4-4)

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1、参数方程考点要求1了解参数方程的定义。2分析直线，圆，圆锥曲线的几何性质。会选择适当的参数，写出他们的参数方程。并理解直线参数方程标准形式中参数的意义。3掌握曲线的参数方程与普通方程的互化。考点与导学1参数方程的定义：在取定的坐标系中。如果曲线上任意一点的坐标都是某个变量的函数(tT)（1）这里T是的公共定义域。并且对于t的每一个允许值。由方程（1）所确定的点。都在这条曲线上；那么（1）叫做这条曲线的参数方程，辅助变数t叫做参数。2过点倾斜角为的直线的参数方程（I）（t为参数）（i）通常称（I）为直线的参数方程的标准形式。其中t表示到上一点的有向线段的数量。t>0时，p在上方或右方；

2、t<0时，p在下方或左方，t=0时，p与重合。（ii）直线的参数方程的一般形式是：（t为参数）这里直线的倾斜角的正切（时例外）。当且仅当且b>0时.（1）中的t才具有（I）中的t所具有的几何意义。2圆的参数方程。圆心在点半径为r的圆的参数方程是（为参数）3椭圆的参数方程。（为参数）4双曲线的参数方程：（为参数）5抛物线的参数方程。（t为参数）例1已知某曲线C的参数方程为（其中t是参数，）,点M（5，4）在该曲线上。（1）求常数；（2）求曲线C的普通方程。解：（1）由题意可知有故∴（2）由已知及（1）可得，曲线C的方程为由第一个方程得代入第二个方程得：。即为所求。〔点评〕参数方程化为普

3、通方程的关键是消参数，并且要保证等价性。若不可避免地破坏了同解变形，则一定要通过。根据t的取值范围导出的取值范围。例2圆M的参数方程为（R>0）.(1)求该圆的圆心的坐标以及圆M的半径。（2）当R固定，变化时。求圆心M的轨迹。并证明此时不论取什么值，所有的圆M都外切于一个定圆。解：（1）依题意得圆M的方程为故圆心的坐标为M（。（2）当变化时，圆心M的轨迹方程为（其中为参数）两式平方相加得。所以所有的圆M的轨迹是圆心在原点。半径为2R的圆由于所以所有的圆M都和定圆外切，和定圆内切。〔点评〕本题中所给的方程中含有多个参数，像这样的问题有时容易分不清哪个是真正的参数，究竟在具体的题目中哪个

4、是真正的参数应视题目给定的条件，分清参数。例3已知A，B分别是椭圆的右顶点和上顶点，动点C在该椭圆上运动，求∆ABC的重心的轨迹的普通方程。解：由动点C在椭圆上运动，可设C的坐标为（6cos,3）,点G的坐标为.依题意可知：A（6，0），B（0，3）由重心坐标公式可知由此得：即为所求。〔点评〕①本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性。运用参数方程显得很简单。运算更简便。常用于解决有关最值问题。②“平方法”是消参的常用方法。例4求经过点（1，1）。倾斜角为的直线截椭圆所得的弦长。解：由条件可知直线的参数方程是：（t为参数）代入椭圆方程可得：即设方程的两实根分别为。则则直

5、线截椭圆的弦长是〔点评〕利用直线参数方程的几何意义求弦长的常用方法。但必须注意：直线的参数方程必须是标准形式。即（t为参数）当且b>0时才是标准形式。若不满足且b>0两个条件。则弦长为d=〔解题能力测试〕1已知某条曲线的参数方程为：其中是参数。则该曲线是（）A线段B圆C双曲线的一部分D圆的一部分2已知某条曲线的参数方程为则该曲线是（）A线段B圆弧C双曲线的一支D射线3实数满足，则的最大值为：；最小值为。4已知直线的斜率为.经过点。点M在直线上，以的数量t为参数.则直线的参数方程为：。5已知直线的参数方程是（t为参数）其中实数的范围是。则直线的倾斜角是：。〔潜能强化训练〕1在方程（为参

6、数）所表示的曲线上的一点的坐标为（）ABCD2下列参数方程（t为参数）与普通方程表示同一曲线的方程是（）ABCD3直线与圆（为参数）的位置关系是（）A相切B相离C直线过圆心D相交但直线不过圆心。4设直线（t为参数）。如果为锐角，那么直线的角是（）ABCD5过点（1，1），倾斜角为的直线截椭圆所得的弦长为（）ABCD6双曲线（为参数），那么它的两条渐近线所成的锐角是：。7参数方程（为参数）表示的曲线的普通方程是：。8已知点M（2，1）和双曲线，求以M为中点的双曲线右支的弦AB所在直线的方程。9已知椭圆的中心在原点。焦点在轴上且长轴长为4，短轴长为2。直线的参数方程为（t为参数）。当m为

7、何值时，直线被椭圆截得的弦长为？１0、求椭圆上的点到直线的最大距离和最小距离。〔知识要点归纳〕1．参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的一种表示形式，而且有的参数还有几何意义或物理意义。2．面临一个轨迹问题，如何选择参数？如何用参数？是主要问题，必须在学习过程中深刻去领会。3．在参数方程与普通方程互化过程中，要注意等价性。四、参数方程〔解题能力测试〕1．C2、A3、5，-54、5、〔潜能强化训练〕1、C2、D3、C4、B