非参数-第九章

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1、第九章检验的渐近相对效率非参数数据分析方法对产生数据的总体的分布不作假设，或仅给出很一般，例如连续型分布、对称分布等这样一些简单的假设。所以非参数数据分析方法的优点就是它可以在很多的情况下使用。既然非参数数据分析方法适用面广，人们会很自然地认为它的效率不高。与参数数据分析方法相比较，非参数数据分析方法的效率究竟有多高？这就是本章所要讨论的问题。本章仅将检验方法分别与单样本的符号检验方法和两样本的Wilcoxon秩和检验方法进行比较。检验是著名的正态总体假设下的参数检验方法，而Wilcoxon秩和检

2、验是著名的非参数检验方法，符号检验是最为简单的非参数检验方法。至于其它的非参数检验方法与和它相对应的参数检验方法的比较这里从略。有兴趣的读者请参阅参考书目[2]–[4]。通常使用的比较方法是，在待比较的两个检验有相同的样本容量的情况下，首先使得它们取同样的水平，然后分别计算它们的功效。由于功效表示备择假设成立时拒绝原假设的概率，所以功效越大，检验越好。由于1减去功效就是检验犯第二类错误的概率，所以这种比较方法实际上就是看样本容量相同并且犯第一类错误的概率也相同的两个检验，谁犯第二类错误的概率小。犯

3、第二类错误概率小的那个检验为好。除了这个比较方法外，还有下面另一种比较方法。另一种比较方法首先使得待比较的两个检验取同样的水平，并取同样的功效，然后比较要达到水平和功效所需要的样本容量。所需要的样本容量比较小的那个检验为好。不难看出，这两种比较方法相互等价。它们都是根据假设检验的Neyman–Pearson理论而引出的。本章将采用上述第二种方法将非参数检验方法与参数检验方法进行比较。170一般来说，原假设是简单假设，而备择假设往往是复合假设。原假设成立时参数的取值空间是单点集，备择假设成立时参数的

4、取值空间不是单点集，而是一个开区间。在备择假设成立时有了参数的值我们才能计算功效。究竟是对哪一些参数计算功效？这是我们在计算功效之前需要考虑的第1个问题。显然，我们最为关心的是接近于原假设的那一些参数的功效。如果一个检验在接近于原假设的那些参数的功效很大，那么这个检验就是一个好的检验。所以越是接近原假设的那些参数的功效我们越关心。计算功效的参数要不要与样本容量有关？这是我们在计算功效之前需要考虑的又一个问题。对给定的某个参数，即使它非常接近原假设，当样本容量越来越大时，它的功效必然也越来越大。所以

5、计算功效的参数要与样本容量有关，样本容量越大，计算功效的参数和原假设要越接近。样本容量趋于无穷大时计算功效的参数要趋于原假设。正因为考虑到这两个问题，所以本章是在样本容量比较大，直至趋于无穷大的时候比较两个水平相同的检验，比较它们为了在接近于原假设，直至趋于原假设的那一些参数处有相同的功效所需要的样本容量。§9.1单样本符号检验与检验假设样本独立同分布，总体服从连续型分布，且的分布关于点对称，其密度函数为，是偶函数。欲检验对称中心是否在原点0的右边，其原假设和备择假设分别为：和：(9.1)原假设成

6、立时参数的取值空间是单点集，而备择假设成立时参数的取值空间是开区间。9.1.1检验法可以使用检验法解(9.1)式的检验问题，其检验统计量为其中，如果总体X服从正态分布，则在原假设成立时，。如果不能确定正态总体假设是否成立，那么在原假设成立时，若，则有渐近标准正态分布。所以在样本容量比较大的时候，水平为的检验的拒绝域为。正如前面所说的，计算功效的参数要与样本容量有关，而且样本容量越大，计算功效的参数要与原假设，即原点0越接近。为此我们取一个参数序列，，其中，是大于0的正数。显然，越大，越接近原点0，

7、且在时，。为什么令，而不是或其它，这是为了使得是一个常数，给数学处理带来方便。170下面计算在参数处的功效，并使得这个功效等于给定的。所谓在处计算功效，就是在备择假设成立，当总体的分布关于点对称时计算功效，即计算概率的值。当总体的分布关于点对称时，根据中心极限定理我们有，(9.2)由于，所以功效(9.3)由于在时，，其中为总体的标准差，所以由(9.2)式知，从而由(9.3)式知，在时，。所以(9.4)一般来说，水平比较小时，功效比较大，故，而。由(9.4)式我们得到满足的等式：(9.5)在参数接近

8、原点0时，为了使其功效达到，检验需要多大的样本容量？有了(9.5)式，这个问题就容易解决了。为了区分使用不同的检验方法需要的不同的样本容量，我们把使用检验法需要的样本容量记为。令，则由(9.5)式知，检验需要的样本容量(9.6)下面我们计算符号检验在接近原点0的参数处达到功效所需要的样本容量。9.1.2符号检验法也可以使用符号检验法解(9.1)式的检验问题，其检验统计量为170，，在原假设成立时，，并且在时，有渐近正态性：所以在样本容量比较大的时候，水平为的符号检验的拒绝域为在备择