解奥数应用题

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1、解应用题1.一个回文数是指从首位数读到末位数，与从末位数读到首位数都相同的数（例如：11511，22222，10001）。请问可被11整除的五位数的回文数个数与全部五位数的回文数的个数之比是多少？答案请用最简分数表示。解答：五位回文数的一般形式为ABCDE，所以五位回文数共有9×10×10=900个。若五位回文数能被11整除，则2a+c与2b的差是11的倍数，即2a+c－2b=11，2a+c－2b=22，2b－（2a+c）=11或2b=2a+c。若2a+c－2b=11，则c为奇数，当c=1时，a－b=5，b=0，1，2，3，4；当c=3时，a－b=4，b=0，1，2，3，4，

2、5；当c=5时，a－b=3，b=0，1，2，3，4，5，6；当c=7时，a－b=2，b=0，1，2，3，4，5，6，7；当c=9时，a－b=1，b=0，1，2，3，4，5，6，7，8。共35个数。若2a+c－2b=22，则c为偶数，且不小于4，当c=4时，a－b=9，b=0；当c=6时，a－b=8，b=0，1；当c=8时，a－b=7，b=0，1，2。共6个数。若2b－（2a+c）=11，则c为奇数，当c=1时，b－a=6，a=1，2，3；当c=3时，b－a=7，a=1，2；当c=5时，b－a=8，a=1；c=7或9时，a和b无法同时为1位数，所以共有6个数。若2b=2a+c，

3、则c为偶数，当c=0时，a=b，a=1，2，3，4，5，6，7，8，9；当c=2时，b=a+1，a=1，2，3，4，5，6，7，8；当c=4时，b=a+2，a=1，2，3，4，5，6，7；当c=6时，b=a+3，a=1，2，3，4，5，6；当c=8时，b=a+4，a=1，2，3，4，5。共35个数。所以能被11整除的五位回文数有35+6+6+35=82个，与全部五位回文数的个数之比为41/4502.两个班各出3名学生组成一队，参加接力赛，要求同班的三个人不全相邻，则共有多少种排列方法？3.有10张扑克牌，点数分别为1，2，3，…，9，10。从中任意取出若干张牌，为了使其中必有

4、几张牌的点数之和等于15，问最少要取多少张牌?解答：若只取5张牌，有可能不满足条件，例如1，2，8，9，10。因此，最少取的张数不小于6。下面证明6可以满足条件。可以将5-10分成3组：{5，10}，{6，9}，{7，8}，每组至多选一个则若在1，2，3，4中任意选三个数，它们的和一定在上面三组数中，即6个数必有若干个之和为15。4.从1,2,3,4,5,6,7,8中选出一些数（至少选一个，不能不选），使它们的和为4的倍数，一共有几种方法？解答：先从3,4,5,6,7,8中随便选几个（可以不选）。之后根据在3,4,5,6,7,8中选出数的和除以4的余数来决定选不选1,2，方法

5、如下：若那个和除以4余1则1,2都选；余2则选2不选1；余3则选1不选2；余0则都不选。这样总共有2的6次方共64种方法，但是其中有一种一个数都不选的方法，需要去掉，故满足条件的选法有63种。5.一根绳子，对折4次后，在三个四等分点上各剪一刀将绳子剪成了若干段小绳子，这些小绳子有两种长度．其中，较长的有多少条？较短的有多少条？解答：对折4次后，共16层，剪断后绳子的端点共有16×2×3+2=98个，而每条绳子有2个端点，所以此时共有49条绳子。而两端的连接处共有1+2+4+8=15个，则较长的绳子有15条，较短的有49—15=34条。6.一容器内有浓度为40%的糖水，若再加入

6、20千克水与5千克糖，则糖水的浓度变为30%。这个容器内原来含有糖多少千克？解：实际上加入的是浓度为5/(20+5)×100%=20%的糖水，即用40%的糖水与20%的糖水混合得到30%的糖水。由此可知，原来40%的糖水也有25千克，所以原来含糖25×40%=10千克。7.在下面的“□”中填上合适的运算符号，使等式成立：（1□9□9□2）×（1□9□9□2）×（19□9□2）=1992解：（1×9×9+2）×（1+9-9+2）×（19-9-2）=83×3×8=1992或（1×9×9＋2）×（1×9÷9×2）×（19-9+2）=83×2×12=1992数位问题1．把1至2005

7、这2005个自然数依次写下来得到一个多位数123456789.....2005,这个多位数除以9余数是多少?解：首先研究能被9整除的数的特点：如果各个数位上的数字之和能被9整除，那么这个数也能被9整除；如果各个位数字之和不能被9整除，那么得的余数就是这个数除以9得的余数。解题：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45；45能被9整除依次类推：1~1999这些数的个位上的数字之和可以被9整除10~19，20~29……90~99这些数中十位上的数字都出现了10次，那么十位上的数字之和就是10+20+30+…