分章精编---导数及其应用解答题一(完成93)

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1、《导数及其应用》三、计算题1．已知函数；（Ⅰ）当时，判断在定义域上的单调性；（Ⅱ）若在上的最小值为2，求的值；【解】（Ⅰ）由题意：的定义域为，且．，故在上是单调递增函数．（Ⅱ）由（1）可知：①若，则，即在上恒成立，此时在上为增函数，（舍去）②若，则，即在上恒成立，此时在上为减函数，所以，③若，令得，当时，在上为减函数，当时，在上为增函数，综上可知：2．设函数，。（1）若，过两点和的中点作轴的垂线交曲线于点，求证：曲线在点处的切线过点；（2）若，当时恒成立，求实数的取值范围。【解】（1）由已知得，，即，由，得，曲线在点处的切线的斜率，方程为，当时，，故，所以点在切线上，即曲线在点处的切线

2、过点。（2）当时，，，由，即，解得，或。，故当，即时，在上，单调递增，故在上单调递增，所以当时，取得最大值依题意得，解得，此时；当，即时，，在上，单调递增；在上，单调递减，所以当时，取得极大值，也是最大值，最大值为，依题意得，解得，此时。综上所述得实数的取值范围为。3．已知向量，（其中实数和不同时为零），当时，有，当时，．(1)求函数式；（2）求函数的单调递减区间；（3）若对，都有，求实数的取值范围．【解】（1）当时，由得，；（且）当时，由.得∴（2）当且时，由<0,解得，当时，∴函数的单调减区间为（－1，０）和（０，1）（3）对，都有即，也就是对恒成立，由（2）知当时，∴函数在和都单

3、调递增又，当时，∴当时，同理可得，当时，有，综上所述得，对，取得最大值2；∴实数的取值范围为.4．已知函数（）（1）求f(x)的单调区间；（2）证明：lnx<【解】（1）函数f(x)的定义域为，①当时，>0，f(x)在上递增.②当时，令得解得：，因（舍去），故在上<0，f(x)递减；在上，>0，f(x)递增.（2）由（1）知在内递减，在内递增.故，又因故，得5．已知实数，函数．(Ⅰ)若函数有极大值32，求实数的值；(Ⅱ)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围．【解】（Ⅰ）令得∴或有极大值32，又在时取得极大值（Ⅱ）由知：当时，函数在上是增函数，在上是减函数此时，又对，不等式恒成立∴得∴当

4、时，函数在上是减函数，在上是增函数又，，此时，又对，不等式恒成立∴得∴故所求实数的取值范围是6．已知函数.（）（Ⅰ）当时，求在区间[1，e]上的最大值和最小值；（Ⅱ）若在区间（1，+∞）上，函数的图象恒在直线下方，求的取值范围．【解】（Ⅰ）当时，，；对于[1，e]，有，∴在区间[1，e]上为增函数，∴，.（Ⅱ）令，则的定义域为（0，+∞）.在区间（1，+∞）上，函数的图象恒在直线下方等价于在区间（1，+∞）上恒成立.∵①若，令，得极值点，，当，即时，在（，+∞)上有，此时在区间(，+∞)上是增函数，并且在该区间上有∈(，+∞)，不合题意；当，即时，同理可知，在区间(1，+∞)上，有∈(

5、，+∞)，也不合题意；②若，则有，此时在区间(1，+∞)上恒有，从而在区间(1，+∞)上是减函数；要使在此区间上恒成立，只须满足，由此求得的范围是[，].综合①②可知，当∈[，]时，函数的图象恒在直线下方.7．设为三次函数，且图像关于原点对称，当时，的极小值为．（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）证明：当时，函数图像上任意两点的连线的斜率恒大于0．【解】（Ⅰ）设其图像关于原点对称，即得∴，则有由，依题意得∴①②由①②得故所求的解析式为：.（Ⅱ）由解得：或∴时，函数单调递增；设是时，函数图像上任意两点，且，则有∴过这两点的直线的斜率.8．已知，，（1）若f(x)在处取得极值，试求c的值和f(x)的单

6、调增区间；（2）如右图所示，若函数的图象在连续光滑，试猜想拉格朗日中值定理：即一定存在使得？（用含有a,b,f(a),f(b)的表达式直接回答）（3）利用（2）证明：函数y=g(x)图象上任意两点的连线斜率不小于2e-4.【解】（1），………1分依题意，有，即．，．令得，从而f(x)的单调增区间为：；（2）；（3），由（2）知，对于函数y=g(x)图象上任意两点A、B，在A、B之间一定存在一点,使得，又，故有，证毕．9.已知函数，设．(Ⅰ)求在（0，3]内的最小值；(Ⅱ)是否存在实数，使得函数的图象与的图象恰好有四个不同的交点？若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由．解.(Ⅰ)），

7、则………1分因为,所以当时，对恒成立，故F(x)在（0，3）内单调递减，（2分），而F(x)在x=3处连续，所以………3分当时，时，时，所以F(x)在内单调递减，在内单调递增。所以综上所述，当时，，当时，。（Ⅱ）若的图象与的图象恰有四个不同交点，即有四个不同的根，亦即有四个不同的根。令，则。当变化时的变化情况如下表：(-1,0)(0,1)(1,)的符号+-+-的单调性↗↘↗↘由表格知：。画出草图和验证可知，当时，函数的图象与的图象恰好有四个不同